[Toán 12] Tìm hàm số

[vivietnam]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Làm hộ mình câu này


Tìm hàm số $ f: R \longrightarrow R $ thỏa mãn
$ f(\dfrac{x+y}{2012})=\dfrac{1}{2}[f(\dfrac{x}{2013})+f(\dfrac{y}{2014})] $
Với mọi x,y thuộc R

 

[nguyenbahiep1]

Đề thi toán olympic sinh viên toàn quốc năm 2012 không thuộc lĩnh vực thi đại học

Lời giải

[laTEX]a = \frac{2014}{2012} \\ \\ b = \frac{2014}{2013} \\ \\ f ( a.(x+y) ) = \frac{1}{2}.[f(b.x) + f(y) ] \\ \\ g(x) = f(x) - f(0) \\ \\ g(a.(x+y) ) = f(a(x+y)) - f(0) = \frac{1}{2}.[f(bx)+f(y) - 2.f(0) ] = \frac{1}{2}.[ g(bx) + fg(y) ] \\ \\ g(a(x+y)) = g(a(x+y+0)) = \frac{1}{2}.[ f(b(x+y)) + f(0) ] - f(0) = \frac{1}{2}.g(b(x+y)) [/laTEX]


kết hợp lại ta có

[laTEX]g(b(x+y)) = g(bx) + g(y) [/laTEX]

chọn y sao cho

[laTEX]b(x+y) = y[/laTEX] ta có

[laTEX]g(bx) = 0[/laTEX] vậy f(x) là hàm hằng