[Toán 12] Tìm GTNN của biểu thức

[cassakun]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn [TEX]x^2 + y^2 +z^2 \leq \frac{3}{4}[/TEX]
Tìm Min: [TEX]P= (x+y)(y+z)(z+x) + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3} + \frac{1}{z^3} [/TEX]

 

[huytrandinh]

[TEX]\frac{1}{x^{3}}+8+8 \geq \frac{12}{x}[/TEX]
[TEX]=>P\geq (x+y)(y+z)(x+z)+3(\frac{12}{x}+\frac{12}{y}+\frac{12}{z})-48[/TEX]
[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/TEX]
[TEX]=>P\geq (x+y)(y+z)(x+z)+24\sum \frac{1}{x+y}-48[/TEX]
.[TEX](x+y)(y+z)(x+z)+1+1\geq 3\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)}[/TEX]
[TEX].\sum \frac{1}{x+y}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(x+y)(x+z)(y+z)}}[/TEX]
[TEX]=>P\geq 23\sum \frac{1}{x+y}+3\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)}[/TEX]
[TEX]+\frac{3}{\sqrt[3]{(x+y)(x+z)(y+z)}}-50[/TEX]
[TEX].\sum \frac{1}{x+y}\geq \frac{9}{2(x+y+z)}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{9}{2\sqrt{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}\geq 3[/TEX]
[TEX].3\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(x+z)}+\frac{3}{\sqrt[3]{(x+y)(x+z)(y+z)}}[/TEX]
[TEX]\geq 6[/TEX]
[TEX]=>P\geq 3.23+6-48=27=>minP=27<=>x=y=z=\frac{1}{2}[/TEX]