[Toán 12] Tìm GTNN của biểu thức

[khongdangkiduoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. cho x,y>0 và x+y=1
Tìm min của $P= \dfrac{x}{\sqrt{1-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{1-y}}$
2. Tìm min của Q= x+y biết x>0,y>0 thỏa mãn $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y} = 1$
3. cho a,b,c>0 và ab +bc+ca=3
CM : $\dfrac{a}{2a^2+bc}+\dfrac{b}{2b^2+ca}+\dfrac{c}{2c^2+ab} \geq abc$

 

[truongduong9083]

Gợi ý:
Bài 2. $(x+y)(\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}) \geq (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$

 

[hunterking]

Gợi ý:
Bài 2. $(x+y)(\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}) \ge (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2$

Thế thì dấu bằng xảy ra khi nào hả mod!!:-??

Theo em nghĩ là nhân ra sau đó đặt [TEX]t=\frac{x}{y}[/TEX]

 

[nguyengiahoa10]

2. Tìm min của Q= x+y biết x>0,y>0 thỏa mãn $\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y} = 1$

Đây là bài làm của mình, hơi rối một tí tại mình làm nhanh, sắp phải đi học rồi , mn xem giùm nhé
[tex]\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = \frac{{3x + 2y}}{{xy}} = 1[/tex]
[tex] \Leftrightarrow 3x + 2y = xy[/tex]
[tex] \Leftrightarrow {\left( {3x + 2y} \right)^2} = {x^2}{y^2}[/tex]
[tex]{\left( {3x + 2y} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {2^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)[/tex]
[tex] \Leftrightarrow {\left( {3x + 2y} \right)^2} \le 13\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right][/tex]
[tex] \Leftrightarrow {x^2}{y^2} \le 13\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right][/tex]
[tex]\frac{2}{x} + \frac{3}{y} \ge 2\sqrt {\frac{6}{{xy}}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\sqrt {\frac{6}{{xy}}} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{6}{{xy}}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{xy}} \le \frac{1}{{24}} \Leftrightarrow xy \ge 24[/tex]
[tex]x{y_{\min }} = 24[/tex]
[tex] \Leftrightarrow {24^2} \le 13\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 48} \right] \Leftrightarrow \frac{{{{24}^2}}}{{13}} + 48 \le {\left( {x + y} \right)^2} \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{{{24}^2}}}{{13}} + 48} \le x + y[/tex]
[tex] \Leftrightarrow {Q_{\min }} = {\left( {x + y} \right)_{\min }} = \sqrt {\frac{{{{24}^2}}}{{13}} + 48} [/tex]
Sợ sai quá! :-S

 

[vy000]

Bài 1:

Đặt $\sqrt x=a>0;\sqrt y=b>0$

$\Rightarrow a^2+b^2=1$

$P=\dfrac{a^2}b+\dfrac{b^2}a=\dfrac{a^3+b^3}{ab} \ge \dfrac{(a^2+b^2)(a+b)}{2ab}=\dfrac{a+b}{2ab}$

Có:

$(a+b)^2=(a+b)^2(a^2+b^2)\ge 4ab.2ab=8a^2b^2$

$\Leftrightarrow a+b \ge 2\sqrt2ab$

$\Leftrightarrow \dfrac{a+b}{2ab}\ge \sqrt2$

$\Rightarrow P \ge \sqrt2$


Bài 2:

Schwarz:

$1=\dfrac2x+\dfrac3y \ge \dfrac{(\sqrt2+\sqrt3)^2}{x+y}$

$\Leftrightarrow x+y \ge 2+3+2\sqrt6=5+2\sqrt6$ Dấu đẳng thức $\Leftrightarrow x=\sqrt6+2;y=\sqrt6+3$

 

[l4s.smiledonghae]

3. cho a,b,c>0 và ab +bc+ca=3
CM : $\dfrac{a}{2a^2+bc}+\dfrac{b}{2b^2+ca}+\dfrac{c}{2c^2+ab} \geq abc$

Mình làm hơi rối, mn kiểm tra lại giùm nhé
[tex]P = \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - y} }}[/tex]
[tex]x = {\sin ^2}t[/tex]
[tex]y = {\cos ^2}t[/tex]
[tex]t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right][/tex]
[tex]P = \frac{{{{\sin }^2}t}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} }} + \frac{{{{\cos }^2}t}}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} }} = \frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}} + \frac{{{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}[/tex]
[tex]P = \frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}} + \frac{{{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}} \ge 2\sqrt {\frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}.\frac{{{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} [/tex]
[tex] \Leftrightarrow P = \frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}} + \frac{{{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}} \ge 2[/tex]
[tex] \Leftrightarrow {P_{\min }} = 2[/tex]

 

[vy000]

Mình làm hơi rối, mn kiểm tra lại giùm nhé
[tex]P = \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - y} }}[/tex]
[tex]x = {\sin ^2}t[/tex]
[tex]y = {\cos ^2}t[/tex]
[tex]t \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right][/tex]
[tex]P = \frac{{{{\sin }^2}t}}{{\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} }} + \frac{{{{\cos }^2}t}}{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}t} }} = \frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}} + \frac{{{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}[/tex]
[tex]P = \frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}} + \frac{{{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}} \ge 2\sqrt {\frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}}.\frac{{{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}}} [/tex]
[tex] \Leftrightarrow P = \frac{{{{\sin }^2}t}}{{{{\cos }^2}t}} + \frac{{{{\cos }^2}t}}{{{{\sin }^2}t}} \ge 2[/tex]
[tex] \Leftrightarrow {P_{\min }} = 2[/tex]

Bài ni $\min P=\sqrt2$ khi $x=y=\dfrac12$ mà )))

 

[nguyengiahoa10]

Bài ni $\min P=\sqrt2$ khi $x=y=\dfrac12$ mà )))

Vậy bạn có thể chỉ ra mình làm sai ở chỗ nào không?
Mình thấy là mình áp dụng đúng rồi mà

 

[nguyenbahiep1]

Vậy bạn có thể chỉ ra mình làm sai ở chỗ nào không?
Mình thấy là mình áp dụng đúng rồi mà

em làm sai ở đoạn

[TEX]\frac{sin^2t}{\sqrt{1-sin^2t }} = \frac{sin^2t}{cos^2t}[/TEX]

mà phải là

[TEX]\frac{sin^2t}{\sqrt{1-sin^2t }} = \frac{sin^2t}{|cost|}[/TEX]