[Toán 12] Tìm GTLN

[cassakun]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng:
[TEX]x + \sqrt[]{xy} + \sqrt[3]{xyz} \leq \frac{4}{3}[/TEX]

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng:
[TEX]x + \sqrt[]{xy} + \sqrt[3]{xyz} \leq \frac{4}{3}[/TEX]

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có $$\sqrt{xy} \le \frac{x+4y}{4}$$ và $$\sqrt[3]{xyz} \le \frac{x+4y+16z}{12}.$$ Từ đó suy ra $$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz} \le x+\frac{x+4y}{4}+\frac{x+4y+16z}{12} =\frac{4}{3} (x+y+z)=\frac{4}{3}.$$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{16}{21},\, y=\frac{4}{21}$ và $z=\frac{1}{{21}}.$ $\blacksquare$