Tìm GTLN , GTNN của biểu thức với x,y thuộc R : x^2 + y^2 = 1
\[A = x\sqrt {1 + y} + y\sqrt {1 + x} \]
Mình chỉ làm được tới đây thôi, nếu sai bạn thông cảm nhé
\[\begin{array}{l}
A = x\sqrt {1 + y} + y\sqrt {1 + x} \\
{x^2} + {y^2} = 1\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = \cos t\\
y = \sin t
\end{array} \right.,t \in \left[ {0;2\pi } \right)\\
\Rightarrow A = \cos t\sqrt {1 + \sin t} + \sin t\sqrt {1 + \cos t} \\
\left| A \right| \le \sqrt {{{\cos }^2}t + 1 + \cos t} \sqrt {1 + \sin t + {{\sin }^2}t} \le \dfrac{{{{\cos }^2}t + 1 + \cos t + 1 + \sin t + {{\sin }^2}t}}{2} \le \dfrac{{(\cos t + \sin t) + 3}}{2}\\
\Rightarrow \left| A \right| \le \dfrac{{(\cos t + \sin t) + 3}}{2} \le \dfrac{{\sqrt 2 \cos \left( {t - \dfrac{\pi }{4}} \right) + 3}}{2} \le \dfrac{{\sqrt 2 + 3}}{2}\\
dau - bang - xay - ra:\\
\left\{ \begin{array}{l}
\cos t\sin t = \sqrt {1 + \sin t} \sqrt {1 + \cos t} \\
{\cos ^2}t + 1 + \cos t = 1 + \sin t + {\sin ^2}t\\
\cos \left( {t - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\
\Rightarrow \left| A \right| \le \dfrac{{\sqrt 2 + 3}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2};y = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn