[TOÁN 12] TÍCH PHÂN BẤt ĐỊNH.

[thong1990nd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

bài 1) \int_{}^{}[TEX]\frac{xdx}{2x^2-1+3\sqrt[]{x^2-1}}[/TEX] bài 2) \int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{1+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x+1}}[/TEX]
bài 3) \int_{}^{}[TEX]\frac{x-sinx}{1+cosx}[/TEX]
bài 4) \int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{1+\sqrt[]{x^2+2x+2}}[/TEX]
bài 5) \int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{x+\sqrt[]{x^2-x+1}}[/TEX]
bài 6) \int_{}^{}[TEX]\frac{2-sinx}{2+cosx}[/TEX]dx
bài 7) \int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{(x^2+x)(x^2+1)}[/TEX]
bài 8) \int_{}^{}[TEX]\frac{x^3+x^2+1}{1+x^4}[/TEX]dx


---> đề nghị bạn lưu ý cách đặt tên bài viết

 

[eternal_fire]

bài 1) \int_{}^{}[TEX]\frac{xdx}{2x^2-1+3\sqrt[]{x^2-1}}[/TEX] bài 2) \int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{1+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x+1}}[/TEX]

1/ Đặt: [TEX]x^2-1=t \to 2xdx=dt[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}[TEX]\frac{xdx}{2x^2-1+3\sqrt[]{x^2-1}}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dt}{2t+3\sqrt{t}+1}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dt}{(\sqrt{t}+1)(2\sqrt{t}+1}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{}^{}(\frac{2}{2\sqrt{t}+1}-\frac{1}{\sqrt{t}+1})dt[/TEX]

Xét bài toán: [TEX]\int_{}^{}\frac{dt}{a\sqrt{t}+b}[/TEX]
Đặt [TEX]a\sqrt{t}+b=u \to \frac{a}{2\sqrt{t}}dt=du[/TEX]
[TEX]\to du=\frac{a}{2(\frac{u-b}{a})}dt[/TEX]
[TEX]\to du=\frac{a^2}{2(u-b)}dt \to dt=\frac{2(u-b)}{a^2}du[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}\frac{dt}{a\sqrt{t}+b}=\int_{}^{}\frac{2(u-b)du}{a^2u}[/TEX]
Đến đây thì xong rồi
2/[TEX]\int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{1+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x+1}}=\int_{}^{}\frac{(\sqrt{x}+1-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}dx}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{}^{}(\sqrt{\frac{x+1}{x}}-1-\frac{1}{\sqrt{x}})dx[/TEX]
Đặt: [TEX]\sqrt{\frac{x+1}{x}}=t\to t^2=1+\frac{1}{x}[/TEX]
[TEX]\to x=\frac{1}{t^2-1} \to dx=\frac{-2t}{(t^2-1)^2}dt[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}\sqrt{\frac{x+1}{x}}dx=\int_{}^{}\frac{-2t^2dt}{(t^2-1)^2}[/TEX]
Đây là dạng phân thức

 

[kachia_17]

bài 8)I= \int_{}^{}[TEX]\frac{x^3+x^2+1}{1+x^4}[/TEX]dx

Nhiu thế này đỡ sao hết ,hic làm 1 bài đã.
[tex]\blue I=\int\frac{x^3}{x^4+1}dx+\int\frac{x^2+1}{x^4+1}dx\\ \Leftrightarrow I=\frac 14\int\frac{d(x^4)}{x^4+1}+\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx\\ \Leftrightarrow I=\frac14 ln|1+x^4| +\int\frac{d(x-\frac 1x)}{(x-\frac 1x)^2+2} +C\\ \Leftrightarrow I=\frac 14ln|1+x^4|+\frac{1}{\sqrt2}arctg(x-\frac 1x)+C[/tex]

 

[eternal_fire]

bài 4) \int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{1+\sqrt[]{x^2+2x+2}}[/TEX]

4/ Đặt [TEX]\sqrt{x^2+2x+2}=x+t \to t^2+2tx+x^2=x^2+2x+2[/TEX]
[TEX]\to x=\frac{t^2-2}{2(1-t)}[/TEX]
[TEX]\to dx=\frac{-t^2+2t-2}{2(1-t)^2}dt[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{1+\sqrt[]{x^2+2x+2}}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{} \frac{\frac{-t^2+2t-2}{2(1-t)^2}}{1+\frac{t^2-2}{2(t-1)}+t}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{t^2-2t+2}{t^2(1-t)}dt[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}(\frac{1}{1-t}+\frac{2}{t^2})dt[/TEX]
[TEX]=-ln|1-t|-\frac{2}{t}+C[/TEX]

 

[kachia_17]

bài 7)K= \int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{(x^2+x)(x^2+1)}[/TEX]

Làm nhanh không ku enter làm hết h ^^!
[tex]K=\int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+x)(x^2+1)}dx \\ \Leftrightarrow K=\int\frac{dx}{x^2+x}-\int\frac{xdx}{(x+1)(x^2+1)}\\ \Leftrightarrow K=\int\frac{x+1-x}{x(x+1)}dx-\int\frac{x+1-1}{(x+1)(x^2+1)}dx\\ \Leftrightarrow K=\int\frac{dx}{x}-\int\frac{dx}{x+1}-\int\frac{dx}{x^2+1}+\int\frac{dx}{(x+1)(x^2+1)}[/tex] đều dạng cơ bản rồi đó nhé ^^!

 

[eternal_fire]

\frac{dx}{x+\sqrt[]{x^2-x+1}}[/TEX]
bài 6) \int_{}^{}[TEX]\frac{2-sinx}{2+cosx}[/TEX]dx

Bài 5:
Đặt:[TEX]\sqrt{x^2-x+1}=t-x[/TEX]
Rồi làm tương tự câu 4
Bài 6: Đặt [TEX]t=tan\frac{x}{2} \to dt=\frac{1}{2}(t^2+1}dx[/TEX]
[TEX]sinx=\frac{2t}{t^1+1},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}[/TEX]
Thế vào là xong

 

[kachia_17]

bài 3) L= \int_{}^{}[TEX]\frac{x-sinx}{1+cosx}[/TEX]

Làm nhanh làm nhanh nào ^^ không hết bài bây giờ
[tex] L=\int\frac{x}{1+cosx}dx-\int\frac{sinx}{1+cosx}dx \\ \Leftrightarrow L=M+N \\M=\int\frac{x}{1+cosx}dx \\ \tex{dat} \lef{\begin{u(x)=x}\\{dv=\frac{dx}{1+cosx} [/tex][tex]\Leftrightarrow \lef{\begin{du=dx}\\{v=tg{\frac x2}[/tex]
Suy ra
[TEX]M=xtg{\frac x2}-\int tg{\frac x2 }dx[/TEX]
ok nhé, cái N thì khỏi nói lun

 

[eternal_fire]

bài 3) [TEX] \int_{}^{}[TEX]\frac{x-sinx}{1+cosx}[/TEX]

[TEX] \int_{}^{}[TEX]\frac{x-sinx}{1+cosx}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{x}{1+cosx}dx+\int_{}^{}\frac{-sinxdx}{1+cosx}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{x}{1+cosx}dx+ln|cosx+1|[/TEX]
Đặt [TEX]t=tan\frac{x}{2} \to dt=\frac{1}{2}(1+t^2)dx[/TEX]
[TEX]\to dx=\frac{2dt}{t^2+1}[/TEX]
Lại có [TEX]x=2arctant;1+cosx=\frac{2}{t^2+1}[/TEX]
Suy ra [TEX]\int_{}^{}\frac{x}{1+cosx}dx[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{2arctant.2dt}{(t^2+1).\frac{2}{t^2+1}}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}2arctantdt=2tarctant-\int_{}^{}\frac{2t}{t^2+1}dt[/TEX]
[TEX]=2tarctant-ln|t^2+1|[/TEX]
Bài cuối

 

[kachia_17]

[TEX] \int_{}^{}[TEX]\frac{x-sinx}{1+cosx}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{x}{1+cosx}dx+\int_{}^{}\frac{-sinxdx}{1+cosx}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{x}{1+cosx}dx+ln|cosx+1|[/TEX]
Đặt [TEX]t=tan\frac{x}{2} \to dt=\frac{1}{2}(1+t^2)dx[/TEX]
[TEX]\to dx=\frac{2dt}{t^2+1}[/TEX]
Lại có [TEX]x=2arctant;1+cosx=\frac{2}{t^2+1}[/TEX]
Suy ra [TEX]\int_{}^{}\frac{x}{1+cosx}dx[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}\frac{2arctant.2dt}{(t^2+1).\frac{2}{t^2+1}}[/TEX]
[TEX]=\int_{}^{}2arctantdt=2tarctant-\int_{}^{}\frac{2t}{t^2+1}dt[/TEX]
[TEX]=2tarctant-ln|t^2+1|[/TEX]
Bài cuối

khục khục, em đặt thế này thì về cơ bản cũng như cách của anh còn j.
Cái [tex] \frac{sin}{cos+1}[/tex] khỏi nói nhé. cái kia thì anh làm theo tích phân từng phần, mắc chỗ tìm [tex] dv[/tex] giải quyết lại nè :[tex] dv=\frac{1}{cosx+1}=\frac{1}{2cos^2{\frac x2}}[/tex]\Rightarrow [tex] v=tg{\frac x2}[/tex]

 

[thoaihcmc]

1/ Đặt: [TEX]x^2-1=t \to 2xdx=dt[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}[TEX]\frac{xdx}{2x^2-1+3\sqrt[]{x^2-1}}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dt}{2t+3\sqrt{t}+1}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dt}{(\sqrt{t}+1)(2\sqrt{t}+1}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{}^{}(\frac{2}{2\sqrt{t}+1}-\frac{1}{\sqrt{t}+1})dt[/TEX]

Xét bài toán: [TEX]\int_{}^{}\frac{dt}{a\sqrt{t}+b}[/TEX]
Đặt [TEX]a\sqrt{t}+b=u \to \frac{a}{2\sqrt{t}}dt=du[/TEX]
[TEX]\to du=\frac{a}{2(\frac{u-b}{a})}dt[/TEX]
[TEX]\to du=\frac{a^2}{2(u-b)}dt \to dt=\frac{2(u-b)}{a^2}du[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}\frac{dt}{a\sqrt{t}+b}=\int_{}^{}\frac{2(u-b)du}{a^2u}[/TEX]
Đến đây thì xong rồi
2/[TEX]\int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{1+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x+1}}=\int_{}^{}\frac{(\sqrt{x}+1-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}dx}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{}^{}(\sqrt{\frac{x+1}{x}}-1-\frac{1}{\sqrt{x}})dx[/TEX]
Đặt: [TEX]\sqrt{\frac{x+1}{x}}=t\to t^2=1+\frac{1}{x}[/TEX]
[TEX]\to x=\frac{1}{t^2-1} \to dx=\frac{-2t}{(t^2-1)^2}dt[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}\sqrt{\frac{x+1}{x}}dx=\int_{}^{}\frac{-2t^2dt}{(t^2-1)^2}[/TEX]
Đây là dạng phân thức

bai nay lam tiep the nao vay ban???????????????????????????????????[TEX][/TEX]

 

[xenos]

tiếp theo nè: -2t^2 = -2t^2 - 1 + 1
vậy là ra.............................................

 

[nhonx]

Bài 1 mấy you làm kinh khủng quá
đơn giản vậy thôi nè
đặt t=[tex]\sqrt{x^2-1}[/tex]
=>[tex]\t^2=x^2-1[/tex]
Vi phân: tdt=xdx
Ta được [tex]\int \frac{t.dt}{2.t^2 +3.t+1}[/tex]
Ngang đây dùng nhảy lầu, tách tử thành (4t+3)-(3t+3) rồi tách tiếp thành hai tich phân con là được.

 

[jun11791]

4/ Đặt [TEX]\sqrt{x^2+2x+2}=x+t \to t^2+2tx+x^2=x^2+2x+2[/TEX]

sao lại đặt như thế hả bạn? Có công thức tổng quát j` ko vậy????

 

[hot_spring]

sao lại đặt như thế hả bạn? Có công thức tổng quát j` ko vậy????

Đó là pp thế Euler thứ nhất. Tổng quát: Thế [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}= \pm \sqrt{a}x+t[/TEX] nếu a>0.

 

[jun11791]

1/ Đặt: [TEX]x^2-1=t \to 2xdx=dt[/TEX]

cái này mình nghĩ bạn có thể đặt u = [tex]2x^2[/tex] + 3[tex]\sqrt{x^2-1}[/tex]

 

[jun11791]

các ấy biết n` dạng thật đấy

tớ thấy các vấn đề về tích phân thật mênh mông, cảm giác như học ko bao giờ hết. Nhiều khi mình nghĩ n~ cái tích phân ntn khi đã có công thức sẵn thì khi sau này đi làm cần đến thì giở tìm lại xem các công thức đó chứ việc j` cứ phải ghi vào đầu n` chi cho khổ, chỉ cần nhớ tích phân cơ bản là đc rồi, mà đi thi đh thì chỉ có 1đ mà thôi, thật ko bõ công học chút nào. Nói thực n` khi học logarit hay xác suất mình thấy còn hay hơn

 

[tranhaanh]

1/ Đặt: [TEX]x^2-1=t \to 2xdx=dt[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}[TEX]\frac{xdx}{2x^2-1+3\sqrt[]{x^2-1}}=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dt}{2t+3\sqrt{t}+1}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{}^{}\frac{dt}{(\sqrt{t}+1)(2\sqrt{t}+1}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{}^{}(\frac{2}{2\sqrt{t}+1}-\frac{1}{\sqrt{t}+1})dt[/TEX]

Xét bài toán: [TEX]\int_{}^{}\frac{dt}{a\sqrt{t}+b}[/TEX]
Đặt [TEX]a\sqrt{t}+b=u \to \frac{a}{2\sqrt{t}}dt=du[/TEX]
[TEX]\to du=\frac{a}{2(\frac{u-b}{a})}dt[/TEX]
[TEX]\to du=\frac{a^2}{2(u-b)}dt \to dt=\frac{2(u-b)}{a^2}du[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}\frac{dt}{a\sqrt{t}+b}=\int_{}^{}\frac{2(u-b)du}{a^2u}[/TEX]
Đến đây thì xong rồi
2/[TEX]\int_{}^{}[TEX]\frac{dx}{1+\sqrt[]{x}+\sqrt[]{x+1}}=\int_{}^{}\frac{(\sqrt{x}+1-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}dx}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}\int_{}^{}(\sqrt{\frac{x+1}{x}}-1-\frac{1}{\sqrt{x}})dx[/TEX]
Đặt: [TEX]\sqrt{\frac{x+1}{x}}=t\to t^2=1+\frac{1}{x}[/TEX]
[TEX]\to x=\frac{1}{t^2-1} \to dx=\frac{-2t}{(t^2-1)^2}dt[/TEX]
[TEX]\to \int_{}^{}\sqrt{\frac{x+1}{x}}dx=\int_{}^{}\frac{-2t^2dt}{(t^2-1)^2}[/TEX]
Đây là dạng phân thức

bài này bạn nên đặt cả cái căn thức = t thì sẻ đơn giản hơn nhiều

 

[tranhaanh]

các ấy biết n` dạng thật đấy

tớ thấy các vấn đề về tích phân thật mênh mông, cảm giác như học ko bao giờ hết. Nhiều khi mình nghĩ n~ cái tích phân ntn khi đã có công thức sẵn thì khi sau này đi làm cần đến thì giở tìm lại xem các công thức đó chứ việc j` cứ phải ghi vào đầu n` chi cho khổ, chỉ cần nhớ tích phân cơ bản là đc rồi, mà đi thi đh thì chỉ có 1đ mà thôi, thật ko bõ công học chút nào. Nói thực n` khi học logarit hay xác suất mình thấy còn hay hơn

nó giúp ta đào sâu suy nghĩ bạn à.
Bạn ko cần nhớ nhiều, chỉ cần nhớ bảng nguyên hàm và làm bài tập nhiều thì nó"ăn vào máu" bạn ngay thôi >-

 

[jun11791]

nó giúp ta đào sâu suy nghĩ bạn à.
Bạn ko cần nhớ nhiều, chỉ cần nhớ bảng nguyên hàm và làm bài tập nhiều thì nó"ăn vào máu" bạn ngay thôi >-

Uhm vẫn biết là thế nhg mình vẫn thấy tích phân khá phức tạp và rất rộng. Mình thấy nếu mà giúp ta suy nghĩ n` nhất vẫn là Xác Suất vì thực sự nó làm cho ta tư duy logic và cặn kẽ đến cùng các vấn đề, nếu ko thì "sai 1 ly đi 1 dặm" luôn. Mẹ tớ bảo hồi xưa mẹ tớ chỉ học tích phân ở ct Đại học thôi (ôi sướng)

 

[chuanchuan]

[tex]\int_{0}^{\large\Pi[/tex]}[\sqrt{2}sin(x)dx[/tex]
cam on truoc nha