Bài 1 : Cho hàm số : [TEX]y=x^3-6x^2+9x-1 (C)[/TEX] .
a. Từ những điểm trên đt [TEX]x=2[/TEX] kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến [TEX](C)[/TEX]
b. Từ [TEX]M \in (C)[/TEX] kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến [TEX](C)[/TEX]
Bài 2 : Cho hàm số : [TEX]y=x^2-6x^2+9x[/TEX]
a. Viết pt tiếp tuyến [TEX](d)[/TEX] với [TEX](C)[/TEX] tại điểm uốn I của (C)
b. Từ những điểm trên (d) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)
c. Tìm tập hợp những đỉêm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C)
d. Tìm những điểm trên [TEX]dt: y=9x[/TEX] mà từ đó kẻ đúng 2 tiếp tuyến đến (C) .
Bài 1: đầu tiên có nhận xét một đường thẳng không thể tiếp xúc với (C) tại 2 điểm phân biệt
Gọi đường thẳng qua điểm [TEX]A\left( {2;{y_0}} \right)[/TEX] là
[TEX]d:y = k\left( {x - 2} \right) + {y_0}[/TEX]
d tiếp xúc với (C) điều kiện là hệ pt
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}k = 3{x^2} - 12x + 9\\k\left( {x - 2} \right) + {y_0} = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3{x^2} - 12x + 9\\ - 2{x^3} + 12{x^2} - 24x + 17 = {y_0}\end{array} \right.[/TEX] có nghiệm và ta thấy với mỗi x khác nhau sẽ cho k khác nhau=> lập bản biến thiên hàm số [TEX]g\left( x \right) = - 2{x^3} + 12{x^2} - 24x + 17[/TEX] (nghịch biến trên R) suy ra với mỗi y0 hệ trên chỉ có nghiệm duy nhất do đó tất cả các điểm trên đt x=2 chỉ kẻ đc 1 tiếp tuyến duy nhất
b) tổng quát
gọi [TEX]M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)[/TEX] pt đt qua M có dạng
[TEX]d:y = k\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)[/TEX] d tiếp xúc với (C) thì hệ sau có nghiệm
[TEX]\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}k = 3a{x^2} + 2bx + c\\k\left( {x - {x_0}} \right) + ax_0^3 + bx_0^2 + c{x_0} + d = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3a{x^2} + 2bx + c\\{\left( {x - {x_0}} \right)^2}\left( {x - \frac{{ - b - a{x_0}}}{{2a}}} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}[/TEX]
do đó nếu [TEX]{x_0} = \frac{{ - b - a{x_0}}}{{2a}} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{ - b}}{{3a}}[/TEX] (điểm uốn) thì từ M kẻ đc 1 tiếp tuyến và ngược lại thì là 2 tiếp tuyến
Bài 2
b)
từ bài 1b suy ra trừ điểm uốn(kẻ đc 1 tiếp tuyến) thì từ mọi điểm khác trên đồ thị hàm số đều kẻ đc 2 tiếp tuyến
c) gọi điểm A(a;b) pt đt qua A có dạng [TEX]d:y = k\left( {x - a} \right) + b[/TEX]
d tiếp xúc C thì hệ sau có nghiệm
[TEX]\left\{ \begin{array}{l}k = 3{x^2} - 12x + 9\\k\left( {x - a} \right) + b = {x^3} - 6{x^2} + 9x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 3{x^2} - 12x + 9\\g\left( x \right) = 2{x^3} - \left( {6 + 3a} \right){x^2} + 12ax - 9a + b = 0\end{array} \right.[/TEX]
có đúng 2 tiếp tuyến=> g(x)=0 có đúng 2 nghiệm
[TEX] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g'\left( x \right) = 0 - co - 2 - no - p/b\\g\left( {{x_{cd}}} \right) = 0 \vee g\left( {{x_{ct}}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 2\\g\left( 2 \right) = 0 \vee g\left( a \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 2\\\left[ \begin{array}{l}b = - 3a + 8\\b = {a^3} - 6{a^2} + 9a\end{array} \right.\end{array} \right.[/TEX]
kết luận: những điểm kẻ đc đúng 2 tiếp tuyến là những điểm thuộc (C) trừ điểm uốn và những điểm nằm trên đường thằng y=-3x+8 (trừ điểm A(2;2)-điểm uốn của C)
d)cái này thì từ ý c ta tìm giao điểm của y=9x với dt y=-3x+8 và C là xong
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn