[toán 12]hệ phương trình

G

giangln.thanglong11a6

[TEX]\left{x+\sqrt{x^2+1}=2009^y\\y+\sqrt{y^2+1}=2009^x[/TEX]

Trừ vế theo vế ta thu được PT [TEX]x+\sqrt{x^2+1}+2009^x=y+\sqrt{y^2+1}+2009^y[/TEX]
Đặt VT là f(x).
[TEX]f'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+2009^x.ln2009[/TEX]
Do [TEX]\frac{x}{sqrt{x^2+1}}>-1[/TEX] nên f'(x)>0. Do đó f(x) đồng biến. Suy ra x=y.
Ta thu được PT [TEX]x+\sqrt{x^2+1}-2009^x=0[/TEX].
Lại đặt VT=g(x). Do [TEX]g'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-2009^x.ln2009<0[/TEX] nên g(x) có duy nhất 1 nghiệm x=0. Vậy hệ có nghiệm x=y=0.
 
Q

quang1234554321

giangln.thanglong11a6 said:
[TEX]\left{x+\sqrt{x^2+1}=2009^y\\y+\sqrt{y^2+1}=2009^x[/TEX]

Trừ vế theo vế ta thu được PT [TEX]x+\sqrt{x^2+1}+2009^x=y+\sqrt{y^2+1}+2009^y[/TEX]
Đặt VT là f(x).
[TEX]f'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+2009^x.ln2009[/TEX]
Do [TEX]\frac{x}{sqrt{x^2+1}}>-1[/TEX] nên f'(x)>0. Do đó f(x) đồng biến. Suy ra x=y.
Ta thu được PT [TEX]x+\sqrt{x^2+1}-2009^x=0[/TEX].
Lại đặt VT=g(x). Do [TEX]g'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-2009^x.ln2009<0[/TEX] nên g(x) có duy nhất 1 nghiệm x=0. Vậy hệ có nghiệm x=y=0.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ông này chơi hay quá :[tex]\frac{x}{\sqrt[2]{x^{2}+1}}>-1[/tex]
cái đó ông lấy đâu ra đấy, ông ko giải thích thì sao mọi người hiểu đc
còn chỗ , hàm số đồng biến suy ra x=y, suy đâu mà ra đấy
bài này cần chứng minh hệ trên là hệ đối xứng rồi suy ra x=y , rồi làm theo ông là chứng minh VT đb , VP nb nên có nghiệm duy nhất, thế thì dễ hiểu hơn
 
E

eternal_fire

thutrang11 said:
điềm băn khoăn duy nhất là sao lại có g'(x)>0 thế thôi chứ đến đây thì tôi cũng làm dc
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Từ [TEX]x+\sqrt{x^2+1}=2009^x[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^2+1-x^2=(\sqrt{x^2+1}-x).2009^x \Leftrightarrow 1=(\sqrt{x^2+1}-x).2009^x[/TEX]
Đặt [TEX]h(x)=(\sqrt{x^2+1}-x).2009^x[/TEX]
Dễ thấy h'(x) nghịch biến,mà h(0)=1,suy ra x=0 là nghiệm duy nhất của pt [TEX]h(x)=1[/TEX]
Vậy x=y=0 là nghiệm duy nhất của hệ pt đã cho
 
Last edited by a moderator:
E

eternal_fire

Bạn đạo hàm
Ta nhận thấy x nhỏ hơn hoặc bằng [tex]\sqrt{x^2+1}[/tex].
Từ đó dễ dàng thấy h'(x)<0
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom