Câu 9.b (1,0 điểm). Gọi $A,B$ là hai điểm trong mặt phẳng phức , biểu diễn theo thứ tự hai số phức ${z_1},{z_2} \ne 0$ thỏa mãn $z_1^2 + z_2^2 = {z_1}{z_2}$. Chứng minh rằng tam giác $OAB$ là tam giác đều ($O$ là gốc tọa độ).
Theo giả thiết ta có:
$(z_1+z_2)^2=3x_1z_2 \rightarrow |z_1+z_2|^2= 3|z_1z_2|$
$(z_1-z_2)^2=-x_1z_2 \rightarrow |z_1-z_2|^2= |z_1z_2|$
$\rightarrow 2|z_1|z_2|=\left( |z_1|^2+|z_2|^2 \right)\rightarrow \left( |z_1|-|z_2|\right)^2 =0 \rightarrow |z_1|=|z_2|$
Bây giờ ta gọi nhãn điểm $O$ là $z=0$ nhãn điểm $B$ là $z_1$ nhãn điểm $C$ là $z_2$
Khi đó ta có :
$\begin{cases}OB=|z_1| \\ OC=|z_2| \\ BC=|z_1-z_2|=\sqrt{|z_1z_2|}\end{cases}$\
Vậy nên $OA=OC=BC$. Do đó ta được điều phải chứng minh.
