[Toán 12] Giải bất phương trình: $ \sqrt{x^2+2x+2} + x^2 \ge 4 - 2x$

[mimi_st]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Giải bất phương trình:$$ \sqrt{x^2+2x+2} + x^2 \ge 4 - 2x$$

2/ Cho 4 sô dương a,b,c thỏa mãn $ a+b+c+d = 4 $
CMR: $\dfrac{a}{1+b^2.c} + \dfrac{b}{1+c^2.d} +\dfrac{ c}{1+d^2.a} + \dfrac{d}{1+a^2.b} \ge 2$

P/s: Học cách đánh công thức, có thể trích dẫn lại bài viết để xem cách đánh, không lần sau mình sẽ xoá bài mà không thông báo.

 

[luffy_95]

1/ GBPT:$ \sqrt(x^2+2x+2) + x^2 \geq 4 - 2x $

\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{(x^2+2x+2)} \geq -(x^2+2x-4)[/TEX]

\Leftrightarrow

TH1

[TEX]\left{-(x^2+2x-4)<0\\ (x^2+2x+2) \geq 0[/TEX]

TH2

[TEX]\left{-(x^2+2x-4)\geq0\\ (x^2+2x+2) \geq (x^2+2x-4)^2[/TEX]

Hướng dẫn

Đặt [TEX] x^2+2x+2= t (t \geq 1) [/TEX]\Rightarrow [TEX](x^2+2x-4)^2 = (t-6)^2[/TEX]

 

[mimi_st]

\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{(x^2+2x+2)} \geq -(x^2+2x-4)[/TEX]

\Leftrightarrow

TH1

[TEX]\left{-(x^2+2x-4)<0\\ (x^2+2x+2) \geq 0[/TEX]

TH2

[TEX]\left{-(x^2+2x-4)\geq0\\ (x^2+2x+2) \geq (x^2+2x-4)^2[/TEX]

Hướng dẫn

Đặt [TEX] x^2+2x+2= t (t \geq 1) [/TEX]\Rightarrow [TEX](x^2+2x-4)^2 = (t-6)^2[/TEX]

cho mình hỏi bài 2 trên kia làm thế nào
Giải bất phương trình đó

 

[truongduong9083]

Cho 4 số dương a,b,c thỏa mãn $ a+b+c+d = 4 $
CMR: $\dfrac{a}{1+b^2.c} + \dfrac{b}{1+c^2.d} +\dfrac{ c}{1+d^2.a} + \dfrac{d}{1+a^2.b} \geq 2$
Ta có $\sum_{cyc} \dfrac{a}{1+b^2c} = \sum_{cyc} (a - \dfrac{ab^2c}{1+b^2c}) \geq \sum_{cyc} (a - \dfrac{ab\sqrt{c}}{2}) = \sum_{cyc} (a - \dfrac{b.2.\sqrt{a(ac)}}{4}) \geq \sum_{cyc} (a - \dfrac{b(a+ac)}{4})$
$= 4 - \dfrac{1}{4}[(ab+bc+ca+ad)+(abc+bcd+dca+abd) $
Mà
1. $ab+bc+ca+ad = (a+c)(b+d) \leq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{4} = 4$
2. $abc+bcd+dca+abd = ab(c+d)+cd(a+b) \leq \dfrac{(a+b)^2}{4}(c+d)+\dfrac{(c+d)^2}{4}(a+b) = \dfrac{1}{4}(a+b)(c+d)(a+b+c+d) \leq 4$
Vậy $\dfrac{a}{1+b^2.c} + \dfrac{b}{1+c^2.d} +\dfrac{ c}{1+d^2.a} + \dfrac{d}{1+a^2.b} \geq 4 - \dfrac{1}{4}(4+4) = 2$