!toán 12! Dãy số

[toanhocpro]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Xét dãy [TEX](U_n)[/TEX] xác định bởi [TEX]U_1 = \frac{1}{2}[/TEX]

[TEX]U_{n+1}=[\frac{1-(1-U_n^2)^{\frac{1}{2}}}{2}]^{\frac{1}{2}}[/TEX]

Chứng mình rằng [TEX]U_1+U_2+...+U_{2005} < \sqrt[]{2}[/TEX]

 

[noinhobinhyen]

$x=sin\alpha \Rightarrow (1-x^2)^{\dfrac{1}{2}}=cos\alpha$

$\Rightarrow [\dfrac{1-(1-U_n^2)^{\dfrac{1}{2}}}{2}]^{\dfrac{1}{2}}=
[\dfrac{1-cos\alpha}{2}]^{\dfrac{1}{2}} = sin\dfrac{\alpha}{2}$

Ta có $U_1 = \dfrac{1}{2} = sin\dfrac{\pi}{6}$

Chứng minh bằng quy nạp , ta được $U_n=sin\dfrac{\pi}{3.2^n}$

Sử dụng tính chất $sinx < x (x > 0)$ , ta có

$U_1+U_2+...U_{2005} = sin\dfrac{\pi}{3.2}+sin\dfrac{\pi}{3.2^2}+...+
sin\dfrac{\pi}{3.2^{2005}}$

$< \dfrac{1}{2}+\dfrac{\pi}{3.2^2}+ ... +\dfrac{\pi}{3.2^{2005}}=\dfrac{1}{2}+
\dfrac{\pi}{6}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+...+\dfrac{1}{2^{2004}}=\dfrac{1}{2}+
\dfrac{\pi}{6}(1-\dfrac{1}{2^{2004}}) < \dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{6} < \sqrt[]{2}$