[Toán 12] Chứng minh bất đẳng thức

[solydxk]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR: [tex]\forall x \in (0;1)[/tex] thì:
[tex]{(1 + x)^n} + {(1 - x)^n} < {2^n}[/tex] với n > 1

 

[levanvu12a1]

CMR: [tex]\forall x \in (0;1)[/tex] thì:
[tex]{(1 + x)^n} + {(1 - x)^n} < {2^n}[/tex] với n > 1

Xét ham số $y=(1+x)^n + (1-x)^n$
\Rightarrow $y'=n(1+x)^{n-1}- n(1-x)^{n-1}$
Do $n > 1$ \Rightarrow $n-1 > 0$ và $x \in (1;0) $ \Rightarrow $1-x >0$
\Rightarrow$ y' > 0$ Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
\Rightarrow $y<2^n$

 

[vuive_yeudoi]

Dùng công thức nhị thức Newton kết hợp với điều kiện $ \displaystyle 0 < x < 1 $
$$ 2^n = \left( \left(1+x \right) + \left(1-x \right) \right)^n =C_{n}^{0} \left( 1+x \right)^n+C_{n}^{1} \left( 1+x\right)^{n-1} \left( 1-x \right) + \cdots + C_{n}^{n} \left(1-x \right)^n >C_{n}^{0} \left( 1+x \right)^n+ C_{n}^{n} \left(1-x \right)^n= \left( 1+x \right)^n+ \left(1-x \right)^n $$

 

[solydxk]

Dùng công thức nhị thức Newton kết hợp với điều kiện $ \displaystyle 0 < x < 1 $
$$ 2^n = \left( \left(1+x \right) + \left(1-x \right) \right)^n =C_{n}^{0} \left( 1+x \right)^n+C_{n}^{1} \left( 1+x\right)^{n-1} \left( 1-x \right) + \cdots + C_{n}^{n} \left(1-x \right)^n >C_{n}^{0} \left( 1+x \right)^n+ C_{n}^{n} \left(1-x \right)^n= \left( 1+x \right)^n+ \left(1-x \right)^n $$

Cám ơn chị nhé, cách dùng nhị thức Newton của chị vừa tự nhiên vừa nhanh nữa, vậy mà em không nghĩ ra

 

[solydxk]

Xét ham số $y=(1+x)^n + (1-x)^n$
\Rightarrow $y'=n(1+x)^{n-1}- n(1-x)^{n-1}$
Do $n > 1$ \Rightarrow $n-1 > 0$ và $x \in (1;0) $ \Rightarrow $1-x >0$
\Rightarrow$ y' > 0$ Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
\Rightarrow $y<2^n$

Ban đầu mình cũng hướng theo cách làm hàm số nhưng mình chọn sai hàm: $y=(1+x)^n+(1-x)^n-2^n$ để rồi ngồi giải phương trình $y'=0$ mãi không ra