[Toán 12]BĐT-giúp em cái

G

giangln.thanglong11a6

botvit said:
\.......................................................................
Cho x,y thoả mãn [TEX]2(x^2+y^2)=xy+1[/TEX]

CM [TEX]\frac{18}{25}\leq 7(x^4+y^4)+4x^2y^2 \leq\frac{70}{33}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đặt [TEX]u=x^2+y^2, \ \ v=xy[/TEX] ta có [TEX]2u=v+1[/TEX] hay [TEX]v=2u-1[/TEX]
Theo Cauchy ta có [TEX]x^2+y^2 \geq 2|xy| \Leftrightarrow u\geq2|v|\Leftrightarrow u\geq 2|2u-1|\Leftrightarrow u \in [\frac25; \frac23][/TEX]
Từ đó ta có [TEX]7(x^4+y^4)+4x^2y^2=7u^2-10v^2=-33u^2+40u-10=f(u)[/TEX]

Khảo sát f(u) trên đoạn [TEX][\frac25; \frac23][/TEX] ta thu đpcm.
 
B

botvit

ko còn cách khác sao
.............................
lại khảo sát
cám ơn anh em làm dươc rồi

hộ em bài này luôn
..............................
Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác có chu vi =1 CMR
[TEX]\frac{4}{3}+5\sqrt[3]{abc}\leq (\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})\leq 2+3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
G

giangln.thanglong11a6

botvit said:
Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác có chu vi =1. CMR
[TEX](\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})\leq 2+3\sqrt[3]{abc}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đặt [TEX]a=x^3, b=y^3, c=z^3 \Rightarrow x^3+y^3+z^3=1[/TEX]

BĐT tương đương với [TEX](x^2+y^2+z^2)(x+y+z) \leq 2+3xyz [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)(x+y+z) \leq 2(x^3+y^3+z^3)+3xyz[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2[/TEX]

BĐT trên là BĐT Schur. Phép chứng minh của nó đã có nhiều, ở đây tôi chỉ giới thiệu 1 cách:
Sử dụng biến đổi [TEX]x^3+y^3+z^3+3xyz-x^2y-xy^2-y^2z-yz^2-z^2x-zx^2[/TEX]
[TEX]=xyz-(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)[/TEX]
Việc chứng minh BĐT [TEX]xyz \geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)[/TEX] đúng khá đơn giản.
Nếu trong 3 số (x+y-z), (y+z-x), (z+x-y) có 1 số âm thì BDT đúng.
Nếu cả 3 số cùng dương, áp dụng BDT Cauchy ta có [TEX]\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)} \leq \frac{(x+y-z)+(y+z-x)}2=y[/TEX]
Tương tự với x và z rồi nhân theo vế cả 3 BDT thu được dpcm.

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z hay a=b=c=1/3.
 
B

botvit

giangln.thanglong11a6 said:
Đặt [TEX]a=x^3, b=y^3, c=z^3 \Rightarrow x^3+y^3+z^3=1[/TEX]

BĐT tương đương với [TEX](x^2+y^2+z^2)(x+y+z) \leq 2+3xyz [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)(x+y+z) \leq 2(x^3+y^3+z^3)+3xyz[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2[/TEX]

BĐT trên là BĐT Schur. Phép chứng minh của nó đã có nhiều, ở đây tôi chỉ giới thiệu 1 cách:
Sử dụng biến đổi [TEX]x^3+y^3+z^3+3xyz-x^2y-xy^2-y^2z-yz^2-z^2x-zx^2[/TEX]
[TEX]=xyz-(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)[/TEX]
Việc chứng minh BĐT [TEX]xyz \geq (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)[/TEX] đúng khá đơn giản.
Nếu trong 3 số (x+y-z), (y+z-x), (z+x-y) có 1 số âm thì BDT đúng.
Nếu cả 3 số cùng dương, áp dụng BDT Cauchy ta có [TEX]\sqrt{(x+y-z)(y+z-x)} \leq \frac{(x+y-z)+(y+z-x)}2=y[/TEX]
Tương tự với x và z rồi nhân theo vế cả 3 BDT thu được dpcm.

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z hay a=b=c=1/3.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
còn cái về phía trước nữa đó anh
...........................[TEX]\frac{4}{3}+5\sqrt[3]{abc} \leq[/TEX]
giúp em nốt mấy bài này
Câu 1[TEX]\sqrt[3]{2x+1}+1=x^3+3x^2+2x[/TEX]
Giải và BL
Câu 2:[TEX]3x^2+2xy+y^2=m[/TEX] và[TEX] x^2+xy+y^2=2[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
G

giangln.thanglong11a6

botvit said:
Giải và BL
Câu 2:[TEX]3x^2+2xy+y^2=m[/TEX] và[TEX]x^2+xy+y^2=2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Xét TH y=0. Khi đó từ PT thứ 2 suy ra [TEX]x^2=2[/TEX]. Thay vào PT thứ nhất ta có m=6.

Xét TH [TEX]y \neq 0[/TEX]. PT thứ nhất \Leftrightarrow [TEX]3x^2+2xy+y^2=\frac{m}2.(x^2+xy+y^2)[/TEX]

Chia cả 2 vế cho [TEX]y^2[/TEX] và đặt [TEX]\frac{x}{y}=t[/TEX] ta có [TEX]3t^2+2t+1=\frac{m}2(t^2+t+1)[/TEX]

Đến đây bài toán trở thành giải và biện luận nghiệm của PT bậc 2.
Sau đó kết hợp 2 TH ta thu được đáp số.

Còn 2 câu kia thì tự làm nhé. Anh ngại quá :)|
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom