Toán 12 [Toán 12] Bất đẳng thức.

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Chứng minh $f(x)=\ln x$ lồi với $x>0$ và chứng minh $\ln(x_1^{\lambda_1}x_2^{ \lambda_2}.....x_n^{\lambda_n}) = \lambda_1.\ln x_1+\lambda_2.\ln x_2+...+\lambda_n.\ln x_n$ (Câu này ok rồi)

2. Chứng minh $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \ge a^{\dfrac{a}{a+b+c}}b^{\dfrac{b}{a+b+c}}c^{\dfrac{c}{a+b+c}}$

Hai câu này liên quan với nhau nhưng em không biết nó liên quan về cái gì.

 

[vansang02121998]

Tái xuất giang hồ sau nửa năm

bđt $\Leftrightarrow ln \ \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \ge \dfrac{a}{a+b+c}.ln \ a + \dfrac{b}{a+b+c}.ln \ b + \dfrac{c}{a+b+c}.ln \ c$

Do $f(x)=ln \ x$ là hàm lồi $\Rightarrow f(\alpha.x+\beta.y+\gamma.z) \ge \alpha.f(x)+\beta.f(y)+\gamma.f(z)$ với $\alpha+\beta+\gamma = 1$

$\Rightarrow \dfrac{a}{a+b+c}.ln \ a + \dfrac{b}{a+b+c}.ln \ b + \dfrac{c}{a+b+c}.ln \ c \le ln \ (\dfrac{a}{a+b+c}.a+\dfrac{b}{a+b+c}.b+\dfrac{c}{a+b+c}.c) = ln \ \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$