Xét hàm $h(x)=2f(x)-x^2+2x$
Có $h'(x)=2f'(x)-2(x-1)$
Phác họa trên hình:

BBT của $h'(x)$:
\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty & & a & & 1 & & 2 & & +\infty \\
\hline
h'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\
\hline
h(x) & +\infty & & & & h(1) & & & & +\infty \\
& & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\
& & & h(a) & & & & h(2) & &
\end{array}
Bạn có thể thấy diện tích giới hạn bởi $y=f'(x), y=x-1,x=\frac{1}{2} , x=1$ nhỏ hơn tổng diện tích của hình vuông $OIJG$ và tam giác $DFG$
Như vậy thì: [tex]\int ^1_{\frac{1}{2}}h'(x)dx<1+\frac{1}{4}\\\Leftrightarrow h(1)+\frac{5}{4}<\frac{5}{4}\\\Leftrightarrow h(1)<0[/tex]
Như vậy thì BBT của $g(x)$:
\begin{array}{c|ccccccccccccc}
x & -\infty & & & & a & & 1 & & 2 & & & & +\infty \\
\hline
g(x) & +\infty & & & & g(a) & & & & g(2) & & & & +\infty \\
& & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \\
& & & 0 & & & & g(1) & & & & 0 & &
\end{array}
Tự tin chọn C

P/s: Do vội nên hình vẽ không được chính xác lắm

nên bạn thông cảm cho mình nha