[toán 11] Tổ hợp

[stevani_hp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng : Với [TEX]0\leq k\leq n,k,n \in Z[/TEX],ta luôn có:

[TEX]C^n_{2n+k}.C^n_{2n-k} \leq (C^n_{2n})^2[/TEX]

 

[niemkieuloveahbu]

Cố định n xét dãy số:

[TEX]u_k=C^n_{2n+k}.C^n_{2n-k},0 \leq k \in Z [/TEX]

bất đẳng thức tương đương:

[TEX]u_k \leq u_0,0 \leq k \in Z[/TEX]

Chứng minh dãy[TEX] {u_k}[/TEX] đơn điệu giảm.

[TEX]u_{k+1}<u_k \Leftrightarrow \frac{(2n+k+1)!}{n!.(n+k+1)!}.\frac{(2n-k-1)!}{n!(n-k-1)!}< \frac{(2n+k)!}{n!(n+k)!}.\frac{(2n-k)!}{n!.(n-k)!}\\ \Leftrightarrow \frac{2n+k+1}{n+k+1}<\frac{2n-k}{n-k}\\ \Leftrightarrow n+2nk>0(luon\ dung)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow u_k \leq u_0\ vs\ 0\leq k \in Z \Rightarrow dpcm[/TEX]