[Toán 11] Tính giá trị của biểu thức

[tieuhongtinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho biểu thức $S=a^2+ b^2+ c^2+ d^2+ ac+bd$
trong đó ad -bc =1
a/ CM : $S \geq\sqrt[2]{3}$
b/ Tính giá trị của tổng $(a+ c)^2 + (d+b)^2$ khi biết $S =\sqrt[2]{3}$
Bài 1. Ngày 15/09/2012

 

[vy000]

Đè sai
Ta có:

$a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd =\dfrac12(a^2+b^2+c^2+d^2)+\dfrac12\Big((a+c)^2+(b+d)^2\Big) \ge \dfrac12(a^2+b^2+c^2+d^2)\ge \dfrac12(4\sqrt[4]{(abcd)^2}=2(>\sqrt3)$ Dấu đẳng thức $\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\begin{cases}a=d=1\\b=c=-1\end{cases}\\ \begin{cases}a=d=-1\\b=c=1\end{cases}\end{matrix}\right.$

 

[hthtb22]

Đề phải là ad-bc=1

Bđt \Leftrightarrow $a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd \ge \sqrt{3}.(ad-bc)$

 

[th1104]

Đề đúng phải thế này.

Cho các số ad-bc=1
Tìm GTNN của biểu thức T=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd

$\sqrt{1+(ac+bd)^2}$=$\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}$ \leq $\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}$

\Rightarrow $a^2+b^2+c^2+d^2$ \geq $2.\sqrt{1+(ac+bd)^2}$

đặt : x=ac+bd \Rightarrow (1) \Leftrightarrow $2.\sqrt{1+x^2}+x$

$(2.\sqrt{1+x^2}+x)^2$=$x^2+4+4x^2+4x.\sqrt{1+x^2}$=$(2x+\sqrt{1+x})^2+3$ \geq $3$

\Rightarrow $2.\sqrt{1+x^2}+x$ \geq $\sqrt{3}$

\Rightarrow $a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$\geq $\sqrt{3}$

Vậy min $T=\sqrt{3}$