[Toán 11] Tính đạo hàm cấp n

[quocthinh_psi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số $f(x)=\dfrac{1}{1-x}$
CMR: $f ^n (x) = \dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ với mọi $x \neq 1$

 

[sam_chuoi]

Umbala

Ta dùng quy nạp cm. Với n=1: f'(x)=-1.$(1-x)'$/$(1-x)^2$=1!/$(1-x)^2$ (đúng). Giả sử đúng với n=k$>=$1: $f^k$(x)=k!/$(1-x)^$k+1$$. Ta phải cm đúng với n=k+1. Có $f^(k+1)$(x)=$f^k'$(x)=-k!(k+1)$(1-x)^k$$(1-x)'$/$(1-x)^$2k+2$$=(k+1)!/$(1-x)^$k+2$$ (đpcm).