[toán 11] Tìm CT quy nạp!

Z

zero_flyer

dự đoán cho bài a
A=n(n+1)
chứng minh
giả sử đúng với k
2+...+2k=k(k+1)
cần chứng minh đúng với k+1
2+...+2k+2k+2=(k+1)(k+2)
VT=k(k+1)+2(k+1)=VP
 
M

mcdat

longtt1992 said:
Tìm công thức Quy nạp của dãy số sau.
[TEX]a) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = ???[/TEX]
[TEX]b) 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... (2n)^2 = ???[/TEX]
Bằng quy nạp hãy cm nó đúng !!!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

a: Ta thấy tổng là của các số hạng có bậc bằng 1, mà tổng này là của n số nên nếu có tổng thì tổng phải là 1 đa thức và bậc của tổng phải không vượt quá 2.

Vì vậy ta giả sử tổng có công thức [TEX]S=an^2+bn+c[/TEX]

Thay n = 0, 2, 4 thì tìm ra a, b, c >> S

b: Lý luận tương tự câu a ta giả sử tổng có CT [TEX]S = an^3+bn^2+cn+d[/TEX]

Thay n = 0, 2, 4, 6 thì tìm ra a, b, c, d >> S

:)>-:)>-
 
O

oack

mcdat said:


a: Ta thấy tổng là của các số hạng có bậc bằng 1, mà tổng này là của n số nên nếu có tổng thì tổng phải là 1 đa thức và bậc của tổng phải không vượt quá 2.

Vì vậy ta giả sử tổng có công thức [TEX]S=an^2+bn+c[/TEX]

Thay n = 0, 2, 4 thì tìm ra a, b, c >> S

b: Lý luận tương tự câu a ta giả sử tổng có CT [TEX]S = an^3+bn^2+cn+d[/TEX]

Thay n = 0, 2, 4, 6 thì tìm ra a, b, c, d >> S

:)>-:)>-
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
mọi người vẫn làm theo cách này à ^^ hay nhỉ ^^ nhưng chưa hiểu :D
cái này rút ra từ đâu vậy :) mcdat post lời giải bài 2 của L đi rùi tiện thể post mấy bài về phần này cho Oack áp dụng với :D
 
M

mcdat

oack said:
mọi người vẫn làm theo cách này à ^^ hay nhỉ ^^ nhưng chưa hiểu :D
cái này rút ra từ đâu vậy :) mcdat post lời giải bài 2 của L đi rùi tiện thể post mấy bài về phần này cho Oack áp dụng với :D
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Cái đó mình nhớ từ hồi lớp 9, thi Casio tìm hiểu từ đàn anh đàn chị ^^. Có nhiều dạng áp dụng như

[TEX] S_1 = 1^2+2^2+..........+n^2 \\ S_2 = 1^3+2^3+..........+n^3 \\ S_3 = 1^4+2^4+..........+n^4 \\ S_4 = 1.2+2.3+............+n(n+1) \\ S_5=1.2.3+2.3.4+...........+n(n+1)(n+2) \\ S_6 = 1.3.5 + 2.4.6 + 3.5.7 + 4.6.8 + ..........+n(n+2)(n+4)[/TEX]

Rõ ràng nếu không có pp đó thì việc timg CT tổng quát là vô cùng gian nan, thậm chí là không thể tìm nổi.
 
Z

zero_flyer

bài tập cho long:
1)chứng minh:
[tex]2^{2n+1}-9n^2+3n-2 :^. 54 [/tex]
2) chứng minh
[tex]2cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2..+\sqrt{2}}}}[/tex] (n dấu căn)
 
O

oack

mcdat said:


Cái đó mình nhớ từ hồi lớp 9, thi Casio tìm hiểu từ đàn anh đàn chị ^^. Có nhiều dạng áp dụng như

[TEX] S_1 = 1^2+2^2+..........+n^2 \\ S_2 = 1^3+2^3+..........+n^3 \\ S_3 = 1^4+2^4+..........+n^4 \\ S_4 = 1.2+2.3+............+n(n+1) \\ S_5=1.2.3+2.3.4+...........+n(n+1)(n+2) \\ S_6 = 1.3.5 + 2.4.6 + 3.5.7 + 4.6.8 + ..........+n(n+2)(n+4)[/TEX]

Rõ ràng nếu không có pp đó thì việc timg CT tổng quát là vô cùng gian nan, thậm chí là không thể tìm nổi.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
ừm!^^
hay thật đó nhỉ ^^ mcdat nhớ lâu ;)
ý mình là muốn cậu đưa lời giải bài 2 của Long mà áp dụng cách làm của bạn đó ^^
-> zero post bài cho mỗi Long à :)
 
L

longtt1992

longtt1992 said:
Tìm công thức Quy nạp của dãy số sau.
[TEX]b) 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... (2n)^2 = ???[/TEX]
Bằng quy nạp hãy cm nó đúng !!!
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Mình thử làm cách này, và mình thấy nó có lí nhưng lại là sai, nếu sai chỗ nào nhớ nhắc mình nhé các bạn nhé :(. Mình thấy nó cứ làm sao ấy.
đặt [TEX]T = 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... (2n)^2[/TEX]
[TEX]T = 2^2.1^2 + 2^2.2^2 + 2^2.3^2 + 2^2.4^2 + 2^2.5^2 + ... + 2^2.n^2[/TEX]
[TEX]\frac{T}{2^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2[/TEX]
và theo cách chứng minh SGK thì ta có : [TEX]1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}[/TEX]
vậy ta có [TEX]T = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}[/TEX] Nhưng cái này tớ chứng minh nó = quy nạp lại sai các bạn ạ. Nếu mình sai chỉ lỗi cho mình nhé :((
 
Z

zero_flyer

hiz tớ chả thấy sai chỗ nào, nếu có sai thì coi có thể là bước quy nạp của cậu bị sai đó, thế nhé, mà làm 2 bài của tớ đi, bài 1 dễ còn bài 2 nâng cao hơn 1 chút, ^^
 
T

toxuanhieu

longtt1992 said:
Mình thử làm cách này, và mình thấy nó có lí nhưng lại là sai, nếu sai chỗ nào nhớ nhắc mình nhé các bạn nhé :(. Mình thấy nó cứ làm sao ấy.
đặt [TEX]T = 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... (2n)^2[/TEX]
[TEX]T = 2^2.1^2 + 2^2.2^2 + 2^2.3^2 + 2^2.4^2 + 2^2.5^2 + ... + 2^2.n^2[/TEX]
[TEX]\frac{T}{2^2} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2[/TEX]
và theo cách chứng minh SGK thì ta có : [TEX]1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}[/TEX]
vậy ta có [TEX]T = \frac{2n(n + 1)(2n + 1)}{3}[/TEX] Nhưng cái này tớ chứng minh nó = quy nạp lại sai các bạn ạ. Nếu mình sai chỉ lỗi cho mình nhé :((
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
quy nạp đâu có sai: llàm mỗi chỗ thật vậy thui nhá
T= 2n(n+1)(2n+1)/3 +[TEX](2n+2)^2[/TEX]
=2(n+1)(2[TEX]n^2[/TEX]+7n+6)/3.
=2(n+1)(n+2)(2n+3)/3.
 
O

oack

toxuanhieu said:
quy nạp đâu có sai: llàm mỗi chỗ thật vậy thui nhá
T= [TEX]\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} [/TEX]+[TEX](2n+2)^2[/TEX]
=[TEX] \frac{2n(n+1)(2n+1) + 3.2(n+1).(2n+2)}{3} [/TEX]
=[TEX]\frac{2(n+1)(2n^2+7n+6)}{3}[/TEX]
=[TEX] \frac{2(n+1)(n+2)(2n+3)}{3}[/TEX] .
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ừm bài H đúng rùi đó ^^ chỉnh lại 1 tí :) nhìn chắc rõ hơn ^^
->mcdat tại sao lại phải thay giá trị n=0,2,4... mà ko thay 1,3,5.... mà nếu tui ko nhầm thì [TEX]n \geq 1[/TEX] chứ :) còn nếu như bậc cao thì bài nì phải làm nhử thế nào ?
 
Last edited by a moderator:
M

mcdat

oack said:
ừm bài H đúng rùi đó ^^ chỉnh lại 1 tí :) nhìn chắc rõ hơn ^^
->mcdat tại sao lại phải thay giá trị n=0,2,4... mà ko thay 1,3,5.... mà nếu tui ko nhầm thì [TEX]n \geq 1[/TEX] chứ :) còn nếu như bậc cao thì bài nì phải làm nhử thế nào ?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Việc thay giá trị thì tuỳ ý . Miễn là làm sao cho đơn giản dễ tìm được a, b , c...... nhất. Mọi người có thể cho 1, 3, 5, ...... cũng được .

Khái quát của pp này là: Nếu số hạng bậc là p thì tổng sẽ có bậc là p+1

 
O

oack

mcdat said:


Việc thay giá trị thì tuỳ ý . Miễn là làm sao cho đơn giản dễ tìm được a, b , c...... nhất. Mọi người có thể cho 1, 3, 5, ...... cũng được .

Khái quát của pp này là: Nếu số hạng bậc là p thì tổng sẽ có bậc là p+1
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
tui thấy pp nào hay ^^ nhưng lại có nhược điểm là khi bậc cao thì nó lại rất khó khăn để có thể tìm đc a,b,c,d....
điển hình để tui làm bài 2 của L theo pp này nha :)
[TEX]n=1->S=4 \Rightarrow a+b+c+d =4 (1)[/TEX]
[TEX]n=2 ->S =20 \Rightarrow 8a+4b+2c+d=20 (2)[/TEX]
[TEX]n=3->S =56 \Rightarrow 27a+9b+3c+d=56 (3)[/TEX]
trừ (2) cho (1) đc [TEX]7a+3b+c=16 (4)[/TEX]
trừ (3) cho (2) đc [TEX]19a+5b+c=36 (5)[/TEX]
lập thêm 1 pt nữa để giải à :) làm tới đây là nản rùi :( nếu làm bậc cao có lẽ sẽ khó hơn :)
tiện thể làm câu này xem :D :
[TEX]2^5+4^5+....+(2n)^5=???[/TEX]
 
M

mcdat

oack said:
tui thấy pp nào hay ^^ nhưng lại có nhược điểm là khi bậc cao thì nó lại rất khó khăn để có thể tìm đc a,b,c,d....
điển hình để tui làm bài 2 của L theo pp này nha :)
[TEX]n=1->S=4 \Rightarrow a+b+c+d =4 (1)[/TEX]
[TEX]n=2 ->S =20 \Rightarrow 8a+4b+2c+d=20 (2)[/TEX]
[TEX]n=3->S =56 \Rightarrow 27a+9b+3c+d=56 (3)[/TEX]
trừ (2) cho (1) đc [TEX]7a+3b+c=16 (4)[/TEX]
trừ (3) cho (2) đc [TEX]19a+5b+c=36 (5)[/TEX]
lập thêm 1 pt nữa để giải à :) làm tới đây là nản rùi :( nếu làm bậc cao có lẽ sẽ khó hơn :)
tiện thể làm câu này xem :D :
[TEX]2^5+4^5+....+(2n)^5=???[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đúng là việc xác định các hệ số a, b, c ......... là rất gian nan nhưng khó có cách nào làm nhanh hơn được.

Cũng có một cách khác là dùng hằng đẳng thúc , nhưng cách đó phức tạp và khó làm hơn. Mọi người có thể xem trong sách " Năng cao và phát triển Đại số 8 hay 9 gì đó" của Vũ Hữu Bình. Mình nhớ là có phần thầy áp dụng hằng đẳng thức để tìm CTTQ


 
N

nghiemhuu

zero_flyer said:
bài tập cho long:
1)chứng minh:
[tex]2^{2n+1}-9n^2+3n-2 :^. 54 [/tex]
2) chứng minh
[tex]2cos(\frac{\pi}{2^{n+1}})=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2..+\sqrt{2}}}}[/tex] (n dấu căn)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

2/
bài toán này tương đương với bài toán
VP là một dãy số có
u1 = sqrt(2)
Un = sqrt(2+U1)
tìm số hạng tổng quát của dãy số đó

ta có
U1 = 2cosPI/4
U2 = sqrt(2+u1) = sqrt(2+2cosPI/4) = sqrt(4sqr(cosPI/4)) =2cosPI/8
ta dự đoán dc số hạng tỏng quát của dãy là 2cosPI/(2^n+1)
sau đó chứng minh bằng quy nạp
suy ra ĐPCM
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom