Về công thức thức tổng quát của dãy hồi quy thì người ta hay dùng phương pháp sai phân và phương pháp hàm sinh. Mình thì mới chỉ học được phương pháp sai phân, đại loại là thế này:
Mình sẽ làm ví dụ với dãy có dạng
[TEX] \left{ u_0=k \\ u_{n+1}=au_n+f(n) [/TEX]
nó được gọi là sai phân cấp 1. ( Nếu có [TEX]u_{n+1}[/TEX] được viết theo cả [TEX]u_{n-1} [/TEX]thì là sai phân bậc 2)
Bây giờ bạn để ý :
[TEX]u_{n+1}=au_n+f(n) (1)[/TEX]
nếu mà không có f(n) thì quả thật như bạn niemkieuloveahbu nói , nếu biết số hạng đầu và công bội (a) thì bài toán coi như xong
nên người ta nảy ra ý định làm cho biến mất cái [TEX]f(n)[/TEX] to đầu kia bằng cách đặt :
[TEX]u_{n}=u_{n}^'+u_{n}^*[/TEX] (2)
với [TEX]u_{n}^*[/TEX] và [TEX]u_{n}'[/TEX] cũng là 2 dãy nhưng [TEX]u_{n}^*[/TEX] thỏa mãn (1) tức là :
[TEX]u_{n+1}^*=au_n^*+f(n).[/TEX]
người ta gọi [TEX]u_{n}^*[/TEX] là nghiệm riêng của phương trình sai phân
tên nó cũng nói lên bản chất của nó , nó chỉ là 1 nghiệm bất kì thỏa mãn (1) để chúng ta loại bỏ [TEX]f(n)[/TEX] như sau :
Bây giờ ta thế (2) vào (1) và thu được :
[TEX]u_{n+1}^'+u_{n+1}^*=a(u_{n}^'+u_{n}^*)+f(n)[/TEX]
suy ra [TEX]u_{n+1}'=au_{n}'[/TEX]
Bạn thấy đó , ta đã loại bỏ được [TEX]f(n)[/TEX].
và thu được [TEX]u_{n+1}'=a^nu_1'=Ca^n[/TEX] ( với [TEX]C=u_1'[/TEX])
Và ta đã có công thức tổng quát [TEX]u_n=Ca^{n-1}+u_n^*[/TEX]
Việc tìm [TEX]C[/TEX] và [TEX]u_n^*[/TEX] sẽ tùy thuộc vào dạng bài ( tức là phụ thuộc vào f(n) nó thế nào)
chắc bạn từng gặp dạng bài mà[TEX] f(n)=Const[/TEX] như sau:
[TEX](u_n): \left{ u_1=1 \\ u_{n+1}=2u_{n}+7 [/TEX]
ở đây[TEX] f(n)=7[/TEX]
và theo ở trên ta thu đã thu được [TEX]u_n=C.2^{n-1}+u_n^*[/TEX]
Nãy mình có nói nghiệm riêng chỉ là cái bất kì gì gì đó để thỏa mãn
[TEX]u_{n+1}^*=2u_{n}^*+7 (i)[/TEX]
Cho nên việc tiếp theo của chúng ta tìm bất kì một cái gì đó thỏa mãn PT (i) trên.
Ta thử cho tất cả [TEX]u_{n}^*=t[/TEX] ( dãy hằng đó)
thì [TEX]t=2t+7[/TEX] suy ra[TEX] t=-7[/TEX] nó đã thỏa mãn (i), Giờ ta đã có:
[TEX]u_n=C.2^{n-1}-7[/TEX]
[Bạn cũng có thể tìm những dãy khác để thỏa mãn [TEX](i)[/TEX] tùy ý bạn miễn là nó thỏa mãn vì việc này cốt chỉ để loại [TEX]f(n)[/TEX] nhưng nó là việc khó nhất ]
May mắn thay [TEX]u_1=1[/TEX] tức là [TEX]C.2^0-7=1[/TEX] suy ra [TEX]C=8[/TEX]
vậy ta đã có kết quả là [TEX]u_n=8.2^{n-1}-7[/TEX]
Giờ thử với kiểu [TEX] f(n)=n[/TEX]
[TEX](u_n) : \left{ u_1=1 \\ u_{n+1}=2u_{n}+n [/TEX]
giờ mà cho [TEX]u_n^*=const=t[/TEX] thì có lẽ sẽ tự biến mình thành thằng ngu
) vì
[-t=n
t hằng mà n lại biến thiên.
Thử cho [TEX]u_n^*=-n[/TEX] xem có được không :-/
Ta thu được
-(n+1)=-2n+n tức là [TEX](-n+1)=-n[/TEX]
gần đúng nhưng vướng số 1.
Người tinh không sẽ đoán ra được công thức là [TEX]u_n^*=-n-1[/TEX] nhưng còn người không tinh không chả lẽ mò đến vài năm :-/.
Mò mẫm cái gì đó trong vô vọng không phải cách để giải quyết nỗi buồn cho nên ta phải nghĩ ra phương pháp hay hơn để giải quyết nó
ta đặt [TEX]u_n^*=an+b[/TEX]. Cái này sẽ bao trùm toàn bộ các công thức hàm bậc nhất.
Thay nó vào và :
[TEX]a(n+1)+b=2(an+b)+n \Rightarrow (-a-1)n+a-b=0 [/TEX]
Giờ thì thưởng thức với [TEX]a=b=-1[/TEX]. Suy ra được công thức tổng quát là:
[TEX]u_n=C.2^{n-1}-n-1[/TEX] giờ thì [TEX]1=u_1=C.2^{1-1}-1-1=C-2 \Rightarrow C=3[/TEX]
công thức tổng quát : [TEX]u_n=3.2^{n-1}-n-1[/TEX]
Thật là đơn giản
nhưng nếu có gì không hiểu bạn cứ post lên nếu có thể mình sẽ giải thích không thì nhờ các chị lớn
>-
Chúc bạn học tập tốt
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn