[toán 11] phương trình lượng giác

[kakashi_hatake]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho phương trình [TEX]cos^2 x + 2(1-m) cosx +2m -1=0[/TEX]
Tìm m để phương trình có 4 nghiệm x [TEX]\in[/TEX] [0,2pi]

Ban nào giải hộ t vs

T đọc sách có cách giải như thế này
Đặt t=cosx
t thuộc [-1,1] biến đổi pt có g (t)=2m= [TEX]\frac{t^2+2t-1}{t-1}[/TEX] (g(t)=0 khi t=-1+[TEX]\sqrt{2}[/TEX] hoặc t=-1-[TEX]\sqrt{2}[/TEX])
Đặt g'(t) = [TEX]\frac{t^2-2t-1}{(t-1)^2}[/TEX] (g'(t)=0 khi t=1+ [TEX]\sqrt{2}[/TEX] hoặc t=1- [TEX]\sqrt{2}[/TEX] )
Sau đó lập bảng biến thiên của g(t) theo t ở g'(t)
Theo tớ thì phải xét g(t) theo t ở g(t) chứ
T thật sự k hiểu

Ai có cách nào chỉ t vs
T ra đáp án là 1/2<m<2-[TEX]\sqrt{2}[/TEX] còn sách lại ra 1/4<m<[TEX]\frac{2-\sqrt{2}}{2}[/TEX]

 

[sky_net115]

Cách đó nhanh mà:d
Còn cách như thế này
Vẫn đặt t=cosx => |t|\leq1

=>pt:
$t_2$ + 2(1-m)t+ 2m -1 = 0
Áp dụng định lý đảo của tam thức bậc 2
Tìm điệu kiện m để |t| \leq1
hay là tìm m đê -1\leq t\leq1


Đây:
Denta phẩy > O
f(-1) > O
f(1) > O
và -1 \leqS/2 \leq1

1/2 <m<2+ $\sqrt[n]{2}$

Có khi nào sách giải sai không nhỉ??
Chả nhẽ mình sai???

 

[thophi128]

[TEX]cos^2 x + 2(1-m) cosx +2m -1=0[/TEX]
Đặt [TEX]t=cos x[/TEX]
Do [TEX]x\in [0; 2\pi][/TEX] (1 vòng tròn) nên [TEX]t\in [-1; 1][/TEX]

pt được viết lại : [TEX]t^2+2t-1 = 2m(t-1)[/TEX]
nếu t=1 pt trở thành [TEX]2= 0[/TEX] (vô lý) -> [TEX]t \neq 1[/TEX]

pt viết lại thành: [TEX]f(t)=\frac{t^2+2t-1}{t-1} =2m[/TEX] (1)

Nhận xét [TEX]\cos x=t[/TEX]. Từ đường tròn lượng giác mỗi thuộc đoạn [TEX](-1; 1)[/TEX] sẽ cho hai nghiệm x tương ứng đối nhau.

Với [TEX]t={-1}[/TEX] thì sẽ cho nghiệm kép (điểm ngọn trùng nhau ở vị trí [TEX]x=\pi[/TEX])
Còn với [TEX]t=1[/TEX] thì ko nhận như đã xét ở trên rồi

Vậy điều kiện để pt ban đầu có 4 nghiệm [TEX]x\in [0; 2\pi][/TEX] là pt (1) có 2 nghiệm t phân biệt thuộc [TEX](-1; 1)[/TEX]

Số nghiệm của 1 chính là số giao điểm của đồ thị y=f(t) với đường y= 2m

Đến đây ta khảo sát hàm f(t) để đưa ra kết luận

[TEX]f'(t)=\frac{t^2-2t-1}{(t-1)^2}[/TEX]
[TEX]f'(t) = 0 \Leftrightarrow [/TEX] [TEX]t=1-\sqrt{2}[/TEX] hoặc [TEX]t=1+\sqrt{2}[/TEX]

BBT như hình vẽ

Từ BBT ta thấy để (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc (-1, 1) thì trong khoảng này đồ thị y=f(t) phải cắt dường y=2m tại 2 điểm phân biệt
Tức [TEX]1< 2m < 4-2\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 2-\sqrt 2[/TEX]

Có khả năng sách em nó in sai.

 

[kakashi_hatake]

[TEX]cos^2 x + 2(1-m) cosx +2m -1=0[/TEX]
Đặt [TEX]t=cos x[/TEX]
Do [TEX]x\in [0; 2\pi][/TEX] (1 vòng tròn) nên [TEX]t\in [-1; 1][/TEX]

pt được viết lại : [TEX]t^2+2t-1 = 2m(t-1)[/TEX]
nếu t=1 pt trở thành [TEX]2= 0[/TEX] (vô lý) -> [TEX]t \neq 1[/TEX]

pt viết lại thành: [TEX]f(t)=\frac{t^2+2t-1}{t-1} =2m[/TEX] (1)

Nhận xét [TEX]\cos x=t[/TEX]. Từ đường tròn lượng giác mỗi thuộc đoạn [TEX](-1; 1)[/TEX] sẽ cho hai nghiệm x tương ứng đối nhau.

Với [TEX]t={-1}[/TEX] thì sẽ cho nghiệm kép (điểm ngọn trùng nhau ở vị trí [TEX]x=\pi[/TEX])
Còn với [TEX]t=1[/TEX] thì ko nhận như đã xét ở trên rồi

Vậy điều kiện để pt ban đầu có 4 nghiệm [TEX]x\in [0; 2\pi][/TEX] là pt (1) có 2 nghiệm t phân biệt thuộc [TEX](-1; 1)[/TEX]

Số nghiệm của 1 chính là số giao điểm của đồ thị y=f(t) với đường y= 2m

Đến đây ta khảo sát hàm f(t) để đưa ra kết luận

[TEX]f'(t)=\frac{t^2-2t-1}{(t-1)^2}[/TEX]
[TEX]f'(t) = 0 \Leftrightarrow [/TEX] [TEX]t=1-\sqrt{2}[/TEX] hoặc [TEX]t=1+\sqrt{2}[/TEX]


BBT như hình vẽ

Từ BBT ta thấy để (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc (-1, 1) thì trong khoảng này đồ thị y=f(t) phải cắt dường y=2m tại 2 điểm phân biệt
Tức [TEX]1< 2m < 4-2\sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 2-\sqrt 2[/TEX]

Có khả năng sách em nó in sai.

Cái chỗ đó em k hiểu có thể giảng kỹ hơn k ạ ?
Vì sao lại khảo sát hàm số đó ?

 

[thophi128]

Cái chỗ đó em k hiểu có thể giảng kỹ hơn k ạ ?
Vì sao lại khảo sát hàm số đó ?

Anh ko rõ câu hỏi của em lắm nhưng logic cách làm của a là như thế này:

1, sau khi đặt t = cos x thì ta có nhận xét với mỗi giá trị của t trong khoảng (-1; 1) se luôn cho 2 nghiệm x đối nhau (điểm ngọn đối xứng nhau qua trục hoành (trục cos) của đường tròn lượng giác.

Vì vậy để pt đầu có 4 nghiệm thì pt ẩn t phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (1; 1).

2, do đó bài toán về tìm m để pt ẩn t (vừa mới lập) có hai nghiệm phân biệt. Bài toán này lại được đưa về bài toán biện luận số giao điểm của 2 đồ thị.

Ta cần tìm m để đồ thị hàm [TEX]y=f(t)=\frac{t^2+2t-1}{t-1}[/TEX] cắt đồ thị đường [TEX]y=2m[/TEX] tại 2 điểm phân biệt trong miền t thuộc (-1, 1).

3. Lập bảng biến thiên của hàm f(t) để biện luận.
Do đường thẳng y = 2m la đường song song Ox nên để để đồ thị hàm [TEX]y=f(t)=\frac{t^2+2t-1}{t-1}[/TEX] cắt đồ thị đường [TEX]y=2m[/TEX] tại 2 điểm phân biệt trong miền t thuộc (-1, 1) thì cần đường này nằm cao hơn y=1 và thấp hơn [TEX]4-2\sqrt{2}[/TEX] (vì như vậy thì đường y=2m mới cắt f(t) tại 2 điểm phân biệt được, em nhìn vào bảng biến thiên là thấy điều đó)

-> kết quả

 

[Daothienchi]

Anh ko rõ câu hỏi của em lắm nhưng logic cách làm của a là như thế này:

1, sau khi đặt t = cos x thì ta có nhận xét với mỗi giá trị của t trong khoảng (-1; 1) se luôn cho 2 nghiệm x đối nhau (điểm ngọn đối xứng nhau qua trục hoành (trục cos) của đường tròn lượng giác.

Vì vậy để pt đầu có 4 nghiệm thì pt ẩn t phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (1; 1).

2, do đó bài toán về tìm m để pt ẩn t (vừa mới lập) có hai nghiệm phân biệt. Bài toán này lại được đưa về bài toán biện luận số giao điểm của 2 đồ thị.

Ta cần tìm m để đồ thị hàm [TEX]y=f(t)=\frac{t^2+2t-1}{t-1}[/TEX] cắt đồ thị đường [TEX]y=2m[/TEX] tại 2 điểm phân biệt trong miền t thuộc (-1, 1).

3. Lập bảng biến thiên của hàm f(t) để biện luận.
Do đường thẳng y = 2m la đường song song Ox nên để để đồ thị hàm [TEX]y=f(t)=\frac{t^2+2t-1}{t-1}[/TEX] cắt đồ thị đường [TEX]y=2m[/TEX] tại 2 điểm phân biệt trong miền t thuộc (-1, 1) thì cần đường này nằm cao hơn y=1 và thấp hơn [TEX]4-2\sqrt{2}[/TEX] (vì như vậy thì đường y=2m mới cắt f(t) tại 2 điểm phân biệt được, em nhìn vào bảng biến thiên là thấy điều đó)

-> kết quả

Thế răng lại có f(x)= (t^2-2t-1)/ (t-1)^2 ?