[toán 11] lượng giác

Q

quyenuy0241

emtrongmattoi99 said:
a) cosA*cosB+cosB*cosC+cosC*cosA [TEX]<= 3/4[/TEX]
B) SinA*SinB +sinB*sinC +sinC*sinA >cosA + cosB + cosC (tam giác ABC không tù)
C) sinA*sin B +SinB*sinC + sin C*sin A[TEX]<= 9/4[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Áp dụng BDT:

[tex]ab+bc+ac \le \frac{(a+b+c)^2}{3}[/tex]

[tex]VT \le \frac{(cosA+cosB+cosC)^2}{3} \le \frac{3}{4}[/tex]

Do trong 1 tam giác ta luôn có: [tex]cosA+cosB+cosC \le \frac{3}{2}[/tex]

tương tự trong câu c) để ý [tex]sinA+sinB+sinC \le \frac{3\sqrt{3}}{2} [/tex]
 
I

ivory

emtrongmattoi99 said:
a) cosA*cosB+cosB*cosC+cosC*cosA [TEX]<= 3/4[/TEX]
B) SinA*SinB +sinB*sinC +sinC*sinA >cosA + cosB + cosC (tam giác ABC không tù)
C) sinA*sin B +SinB*sinC + sin C*sin A[TEX]<= 9/4[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
phần còn lại
[TEX]2sinA.sinB=cos(A-B)-cos(A+B)[/TEX]
[TEX]cos(A)=-cos(B+C)[/TEX]
....
rút gọn bất đẳng thức, có
[TEX]cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA>0[/TEX]
 
T

takitori_c1

Câu c, đơn giản nên mình làm :d
[TEX]A=sin^2A+sin^2B+sin^2C = 3/2 -\frac{1}{2}(cos2a+cos2B+cos2C)[/TEX]

[TEX]= 3/2 -\frac{1}{2}[2cos(A+B)(cos A-B)+2cos^2C -1 ][/TEX]

[TEX]= 3/2 -\frac{1}{2}[2(cos^2C-cosCcos(A-B)+\frac{cos^2(A-B)}{4})-\frac{cos^2(A-B)}{2}-1][/TEX]

[TEX]= 3/2 -\frac{1}{2}[2(cosC- \frac{cos(A-B)}{2})^2-\frac{cos^2(A-B)}{2}-1][/TEX]

Ta có: [TEX](cosC- \frac{cos(A-B)}{2})^2-\frac{cos^2(A-B)}{2}-1\geq \frac{-3}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A\leq \frac{9}{4}[/TEX]
 
E

emtrongmattoi99

bài c ,bạn taki giải mình không hiểu lắm .còn mình thì giải như thế này

ta có [TEX]Sin^2 A +sin^2B+sin^2C =(1-co s2A)/2 +(1-co s2B)/2+(1-co s2C)/2[/TEX]
=[TEX]3/2 -1/2(cos2A+cos2B+Cos2C)[/TEX]
=[TEX]3/2 -1/2( -1-4cosA*cosB*cosC)[/TEX]
=[TEX]2+2Co sA*co sB*Co sC[/TEX]
và [TEX]co sA*co sB*co sC <=1/8[/TEX]
do đó : [TEX]sin^2A +sin^2B+sin^2C <=2+2*1/8=9/4[/TEX] (1)
theo bất đẳng thưc Cosi-bunhlacopxki ,ta co
[TEX](sinA*sinB +sin B*sinC +sinC *sinA )^2<=(sin^2A+sin^2B+sin^2C)^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]sinA*sinB+sinB*sin+sinC*sinA<= sin^2A+sin^2B+sin^2C[/TEX] (2)
vì [TEX](sinA>0;sinB>0;sin>0)[/TEX]
Từ (1)(2) ta có đpcm
 
D

diema3

takitori_c1 said:
Câu c, đơn giản nên mình làm :d
[TEX]A=sin^2A+sin^2B+sin^2C = 3/2 -\frac{1}{2}(cos2a+cos2B+cos2C)[/TEX]

[TEX]= 3/2 -\frac{1}{2}[2cos(A+B)(cos A-B)+2cos^2C -1 ][/TEX]

[TEX]= 3/2 -\frac{1}{2}[2(cos^2C-cosCcos(A-B)+\frac{cos^2(A-B)}{4})-\frac{cos^2(A-B)}{2}-1][/TEX]

[TEX]= 3/2 -\frac{1}{2}[2(cosC- \frac{cos(A-B)}{2})^2-\frac{cos^2(A-B)}{2}-1][/TEX]

Ta có: [TEX](cosC- \frac{cos(A-B)}{2})^2-\frac{cos^2(A-B)}{2}-1\geq \frac{-3}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow A\leq \frac{9}{4}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
cái đó sử dụng công thức hạ bậc
sau đó áp dụng ccoong thức biến đổi tổng thành tích và cong thức nhân đôi
rùi nhóm vào sử dụng những yếu tố trong tam giác thì ra!
hihi cũng nhìn qua thì đoán vậy ! :):)
 
E

emtrongmattoi99

mình đã hiểu cách làm của kati nhưng mà mình nghĩ nên sau khi chứng minh :[TEX]sin^2A+ sin^2BC+sin^2C <=9/4[/TEX]
Thì cần chứng mình thêm đoan này
theo bất đẳng thưc Cosi-bunhlacopxki ,ta co
[TEX](sinA*sinB +sin B*sinC +sinC *sinA )^2<=(sin^2A+sin^2B+sin^2C)^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]sinA*sinB+sinB*sin+sinC*sinA<= sin^2A+sin^2B+sin^2C[/TEX]
vì [TEX](sinA>0;sinB>0;sin>0)[/TEX]
Từ đó ta có đpcm
 
R

rua_it

bigbang195 said:
ABC là 3 cạnh 1 tam giác . Chúng minh

[TEX]tanA+tanB+tanC \ge 3\sqrt{3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex]\mathrm{Xet:f(x)=tanx \ ( x \in\ (0;\frac{\pi}{2}))[/tex]

[tex]\mathrm{ f"(x)=2.\frac{sinx}{cos^3x}>0 \ (x \in\ (0;\frac{\pi}{2}))[/tex]

Vậy f(x) là hàm lõi, theo jensen:

[tex]\mathrm{tanA+tanB+tanC=f(\frac{A}{2})+f(\frac{B}{2})+f(\frac{C}{2}) \geq 3.f(\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+ \frac{C}{2}}{3}) \geq 3.sin.\frac{\pi}{6}=3.\sqrt{3}[/tex]
 
B

bigbang195

[TEX]sin A=\frac{a}{2R}[/TEX]

ta có

[TEX]LHS=\frac{\sum ab}{4R^2}[/TEX]

[TEX]RHS =\sum cosA=1+\frac{r}{R}=\frac{4R^2+4Rr}{4R^2}[/TEX]

Sử dụng [TEX]ab+bc+ac=p^2+r^2+4Rr[/TEX]

vậy chỉ cần CM

[TEX]p^2+r^2 \ge 4R^2[/TEX]

chỉ riếng

[TEX]p =a+b+c \ge 3R[/TEX] ( vì tâm O luôn ở bên trong)

Đúng với cả tù thì phải =((
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom