[Toán 11] Đề thi học kì I, THPT Lê Quý Đôn, Khánh Hòa

[huutrang93]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề dành cho lớp thường
Bài 1: Giải các phương trình
[TEX]2sin5x-\sqrt{3}=0[/TEX]
[TEX]cos2x-3cosx+2=0[/TEX]
[TEX](2sinx-1)(2sin2x+1)+4cos^2x=3[/TEX]
Bài 2:
a) Có 1 nhóm 15 học sinh gồm 5 nam và 10 nữ, người ta muốn chọn 1 nhóm 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
b) Một hộp đựng 15 viên bi, trong đó có 8 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từng viên bi cho đến khi lấy được bi xanh thì ngừng lại. Tính xác suất để quá trình ngừng lại ở lần lấy thứ 4.
Bài 3:
[TEX]a) A=(1+2x)^{12}-(1-3x^2)^{13}+(1+4x^3)^{14}-(1-5x^4)^{15}+(1+6x^5)^{16}[/TEX]
Tìn hệ số của [TEX]x^{10}[/TEX] khi khai triển A thành 1 đa thức
b) Giải phương trình
[TEX]C^1_n+6C^2_n+6C^3_n=9n^2-14n[/TEX]
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, gọi M là 1 điểm bất kì trên cạnh SC (M khác S và M khác C)
a) Tìm giao điểm I của Am và mp(SBD)
b) Gọi alpha là mặt phẳng qua AM và song song với BD. Tìm giao điểm HK của mặt phẳng alpha lần lượt với SB và SD, suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi alpha
c) Chứng minh tỉ số sau không đổi khi M di động trên SC
[TEX]\frac{SB}{SH}+\frac{SD}{SK}-\frac{SC}{SM}[/TEX]

Đề dành cho lớp chuyên Toán
Bài 1: Giải phương trình lượng giác
[TEX]a) tanx+tan^2x+tan^3x+cotx+cot^2x+cot^3x=6[/TEX]
[TEX]b) tanx.sin4x+cos4x=0[/TEX]
Bài 2:
Chứng minh rằng khi 4\leqk\leqn với n, k nguyên dương, ta luôn có
[TEX]C^k_n+4C^{k-1}_n+6C^{k-2}_n+4C^{k-3}_n+C^{k-4}_n=C^k_{4+n}[/TEX]
Bài 3:
Với -1 < x < 1 và x khác 0, xét hàm số
[TEX]f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^n}+...[/TEX]
Thu gọn biểu thức
[TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)[/TEX]
Bài 4:
Giả sử [TEX]P(x)=(x+1)^p(x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a^n[/TEX]
trong đó p,q là các số nguyên dương
Chứng minh rằng nếu [TEX]a_1=a_2 \Rightarrow 3n=k^2[/TEX]
Bài 5:
Cho dãy số, biết rằng
[TEX]\left{\begin{u_1=-4;u_2=10}\\{u_{n+2}+u_{n+1}-6u_n=12}[/TEX]
với mọi n thuộc N*
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số
b) Chứng minh rằng [TEX](u_n+4)[/TEX] chia hết cho n với mọi số nguyên tố n
Bài 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng đi qua AM và song song với BD
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P)
b) Gọi E, F là giao điểm của (P) với các cạnh SB, SD. Tính tỉ số diện tích của tam giác SME với tam giác SBC, tam giác SMF với tam giác SCD
c) Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF và CD.
Chứng minh rằng A,J,K thẳng hàng

Bạn nào giải hộ mình 3 bài 3,4,5 phần Toán chuyên nhá

 

[bupbexulanxang]

\Leftrightarrow

Đề dành cho lớp chuyên Toán
Bài 1: Giải phương trình lượng giác
[TEX]a) tanx+tan^2x+tan^3x+cotx+cot^2x+cot^3x=6[/TEX]
[TEX]b) tanx.sin4x+cos4x=0[/TEX]
Bài 2:
Chứng minh rằng khi 4\leqk\leqn với n, k nguyên dương, ta luôn có
[TEX]C^k_n+4C^{k-1}_n+6C^{k-2}_n+4C^{k-3}_n+C^{k-4}_n=C^k_{4+n}[/TEX]
Bài 3:
Với -1 < x < 1 và x khác 0, xét hàm số
[TEX]f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^n}+...[/TEX]
Thu gọn biểu thức
[TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)[/TEX]
Bài 4:
Giả sử [TEX]P(x)=(x+1)^p(x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a^n[/TEX]
trong đó p,q là các số nguyên dương
Chứng minh rằng nếu [TEX]a_1=a_2 \Rightarrow 3n=k^2[/TEX]
Bài 5:
Cho dãy số, biết rằng
[TEX]\left{\begin{u_1=-4;u_2=10}\\{u_{n+2}+u_{n+1}-6u_n=12}[/TEX]
với mọi n thuộc N*
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số
b) Chứng minh rằng [TEX](u_n+4)[/TEX] chia hết cho n với mọi số nguyên tố n
Bài 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC, (P) là mặt phẳng đi qua AM và song song với BD
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P)
b) Gọi E, F là giao điểm của (P) với các cạnh SB, SD. Tính tỉ số diện tích của tam giác SME với tam giác SBC, tam giác SMF với tam giác SCD
c) Gọi K là giao điểm của ME với CB, J là giao điểm của MF và CD.
Chứng minh rằng A,J,K thẳng hàng

Ủng hộ kái^^
B1.a)
ĐK...
đặt [TEX]tan+cot=t[/TEX]
==> [TEX]tan^2+cot^2=t^2-2[/TEX]
[TEX]tan^3+cot^3=t(t^2-3)[/TEX]

==> PT đc:
[TEX]t^3+t^2-2t-8=0[/TEX]

b) Đk..
:
[TEX]\frac{sinx}{cosx}.4sinx.cos2x +cos4x=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4sin^2x.cos2x+cos4x=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](2-2cos2x).cos2x+cos4x=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2cos2x-2cos^2 2x +2cos^2 2x-1=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2cos2x=1[/TEX]

 

[bupbexulanxang]

B2.

Đề dành cho lớp chuyên Toán
Bài 1: Giải phương trình lượng giác
[TEX]a) tanx+tan^2x+tan^3x+cotx+cot^2x+cot^3x=6[/TEX]
[TEX]b) tanx.sin4x+cos4x=0[/TEX]
Bài 2:
Chứng minh rằng khi 4\leqk\leqn với n, k nguyên dương, ta luôn có
[TEX]C^k_n+4C^{k-1}_n+6C^{k-2}_n+4C^{k-3}_n+C^{k-4}_n=C^k_{4+n}[/TEX]

Bài 2 chỉ cần át dụng t/c
[TEX]C^k_n +C^{k-1}_n=C^k_{n+1}[/TEX] là oK
Với Đk trên.
VT\Leftrightarrow [TEX](C^k_n+C^{k-1}_n)+(3C^{k-1}_n+3C^{k-2}_n)+(3C^{k-2}_n+3C^{k-3}_n)+(C^{k-3}_n+C^{k-4}_n)[/TEX]
= [TEX]C^k_{n+1}+3C^{k-1}_{n+1}+3C^{k-2}_{n+1}+C^{k-3}_{n+1}[/TEX]
=[TEX] (C^k_{n+1}+C^{k-1}_{n+1})+(2.C^{k-1}_{n+1}+2C^{k-2}_{n+1})+(C^{k-2}_{n+1}+C^{k-3}_{n+1})[/TEX]
= [TEX]C^K_{n+2}+2.C^{k-1}_{n+2}+C^{k-2}_{n+2}[/TEX]
=[TEX]C^k_{n+3} +C^{k-1}_{n+3}[/TEX]
=[TEX]C^k_{n+4}[/TEX]ĐPCM.

 

[bupbexulanxang]

Bài 3:
[TEX]a) A=(1+2x)^{12}-(1-3x^2)^{13}+(1+4x^3)^{14}-(1-5x^4)^{15}+(1+6x^5)^{16}[/TEX]
Tìn hệ số của [TEX]x^{10}[/TEX] khi khai triển A thành 1 đa thức
b) Giải phương trình
[TEX]C^1_n+6C^2_n+6C^3_n=9n^2-14n[/TEX]

a) hệ số x^{10}

Xét [TEX](1+2x)^{12}[/TEX]có
[TEX]T_{k+1}= C^k_{12}.2^k.x^k[/TEX]
vì hệ số của [TEX]x^10 [/TEX]--> k=10--> hệ số của [TEX]x^{10}[/TEX] là [TEX]C^{10}_{12}.2^{10}[/TEX]
tương tự với các khai triển trên
--> hệ số của [TEX]x^{10}[/TEX] trong khai triển A là
[TEX]C^{10}_{12}.2^{10} -C^5_{13}.(-3)^5+C^2_{16}.6^2[/TEX]

b) giải pt
pt \Leftrightarrow [TEX]n+6.C^3_{n+1} =9n^2-14n[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]n+(n-1).n.(n+1)=9n^2-14n[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]n^3-9n^2-14n=0[/TEX]
n=2 n=0 n=7 (TM)
Lấy n=7 (vì n>3)

 

[doremon.]

Trao đổi

Bài 3:
Với -1 < x < 1 và x khác 0, xét hàm số
[TEX]f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^n}+...[/TEX]
Thu gọn biểu thức
[TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)[/TEX]

f(x)=[TEX]\frac{x^{-n}-x^{-1}}{1-x}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)[/TEX]

\LeftrightarrowS=[TEX]\frac{(2x+1)^{1-n}-(3x+1)^{1-n}}{x}[/TEX]

Bài 5:
Cho dãy số, biết rằng
[TEX]\left{\begin{u_1=-4;u_2=10}\\{u_{n+2}+u_{n+1}-6u_n=12}[/TEX]
với mọi n thuộc N*
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số
b) Chứng minh rằng [TEX](u_n+4)[/TEX] chia hết cho n với mọi số nguyên tố n

a)Sử dụng 2 lần CSN

\Rightarrow[TEX]U_n=-17.2^n+8.3^n+6[/TEX]

b) sử dụng định lí nhỏ Fermat

\Rightarrow[TEX](U_n+4)=(-17.2^n+8.3^n+10)[/TEX] [TEX]\equiv 0 \pmod{n}[/TEX]

hay ([TEX]U_n+4) \vdots n[/TEX],\foralln là SNT

Bài 4:
Giả sử [TEX]P(x)=(x+1)^p(x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a^n[/TEX]
trong đó p,q là các số nguyên dương
Chứng minh rằng nếu [TEX]a_1=a_2 \Rightarrow 3n=k^2[/TEX]

không hiểu lắm.
Nghĩ tiếp ..............

 

[huutrang93]

\Leftrightarrow

Ủng hộ kái^^
B1.a)
ĐK...
đặt [TEX]tan+cot=t[/TEX]
==> [TEX]tan^2+cot^2=t^2-2[/TEX]
[TEX]tan^3+cot^3=t(t^2-3)[/TEX]

==> PT đc:
[TEX]t^3+t^2-2t-8=0[/TEX]

b) Đk..
:
[TEX]\frac{sinx}{cosx}.4sinx.cos2x +cos4x=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4sin^2x.cos2x+cos4x=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](2-2cos2x).cos2x+cos4x=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2cos2x-2cos^2 2x +2cos^2 2x-1=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]2cos2x=1[/TEX]

Bài 1 mình làm ngắn hơn bạn
[TEX]b) tanx.sinx+cos4x=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow sinx.sin4x+cosx.cos4x=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cos(4x-x)=cos3x=0[/TEX]

 

[huutrang93]

Bài 2 chỉ cần át dụng t/c
[TEX]C^k_n +C^{k-1}_n=C^k_{n+1}[/TEX] là oK
Với Đk trên.
VT\Leftrightarrow [TEX](C^k_n+C^{k-1}_n)+(3C^{k-1}_n+3C^{k-2}_n)+(3C^{k-2}_n+3C^{k-3}_n)+(C^{k-3}_n+C^{k-4}_n)[/TEX]
= [TEX]C^k_{n+1}+3C^{k-1}_{n+1}+3C^{k-2}_{n+1}+C^{k-3}_{n+1}[/TEX]
=[TEX] (C^k_{n+1}+C^{k-1}_{n+1})+(2.C^{k-1}_{n+1}+2C^{k-2}_{n+1})+(C^{k-2}_{n+1}+C^{k-3}_{n+1})[/TEX]
= [TEX]C^K_{n+2}+2.C^{k-1}_{n+2}+C^{k-2}_{n+2}[/TEX]
=[TEX]C^k_{n+3} +C^{k-1}_{n+3}[/TEX]
=[TEX]C^k_{n+4}[/TEX]ĐPCM.

Bài 2 mình cũng làm ngắn hơn bạn
[TEX](1+x)^{n+4}=(1+x)^4.(1+x)^n=(C^k_4.x^k).(C^l_n.x^l)[/TEX]
Số hạng chứa [TEX]x^k[/TEX] ở vế trái là [TEX]C^k_{n+4}[/TEX]
Số hạng chứa x^k ở vế phải là [TEX]C^0_4.C^k_n+C^1_4.C^{k-1}_n+C^2_4.C^{k-2}_n+C^3_4.C^{k-3}_n+C^4_4.C^{k-4}_n[/TEX]
Vậy ta có điều phải chứng minh

 

[tiger3323551]

bài 4 áp dụng đồng nhất thức ko ai giải ra hả . (bài này cũng thuộc loại khó)

 

[silvery93]

bài 4 áp dụng đồng nhất thức ko ai giải ra hả . (bài này cũng thuộc loại khó)

giải thử xem ;bài nay` t cũng po' tay.......p; q ; n ;k có mối quan hệ j ko ?????
hôm nay định post nhưng doremon giải oy`

 

[girlkute2595]

a)Sử dụng 2 lần CSN

\Rightarrow[TEX]U_n=-17.2^n+8.3^n+6[/TEX]

lâu rồi không học , giải thế nào

 

[huutrang93]

giải thử xem ;bài nay` t cũng po' tay.......p; q ; n ;k có mối quan hệ j ko ?????
hôm nay định post nhưng doremon giải oy`

He he, thức ra yêu cầu của bài 4 là chứng minh nếu a1=a2 thì 3n là một số chính phương
Tại tớ đang gõ tex nên chuyển hết về công thức, không dùng lời
Còn P(x) là một khai triển Niuton, nên n=p+q, p và q là 2 số nguyên dương bất kì

 

[doremon.]

He he, thức ra yêu cầu của bài 4 là chứng minh nếu a1=a2 thì 3n là một số chính phương
Tại tớ đang gõ tex nên chuyển hết về công thức, không dùng lời
Còn P(x) là một khai triển Niuton, nên n=p+q, p và q là 2 số nguyên dương bất kì

Cái đề vẫn S
[TEX]3n=\frac{1+8p+\sqrt{1+16p}}{2}[/TEX] không là SCP

Bài 5:
Cho dãy số, biết rằng
[TEX]\left{\begin{u_1=-4;u_2=10}\\{u_{n+2}+u_{n+1}-6u_n=12}[/TEX]
với mọi n thuộc N*
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số
lâu rồi không học , giải thế nào

silvery93
giải cho bạn đấy đi

 

[silvery93]

doremon,bạn giải sai bài dãy số

SHTQ [TEX]u_n=2^n+(-3)^n-3[/TEX]



sửa lại đi nhá ( b post thì giải đi chớ sao bảo t giải)

 

[doremon.]

doremon,bạn giải sai bài dãy số

SHTQ [TEX]u_n=2^n+(-3)^n-3[/TEX]

từ đây dễ dàng cminh U_n chia hết cho 4

sửa lại đi nhá ( b post thì giải đi chớ sao bảo t giải)

Bạn làm S thì có
Đề bài của bạn huủtang đúng rồi
bạn coi lại đi

b post thì giải đi chớ sao bảo t giải

ơ !!!!!Bạn bảo là đang định post thì tớ post trưoc rồi mà
Sao ra kq khác tớ mà không bảo ngay từ đầu
Định xem hướng bạn có giống tớ không .Ai dè lại đưa ra kq khác

từ đây dễ dàng cminh U_n chia hết cho 4

Cái này bạn khẳng định cũng S
[tex]U_n[/tex] chia hết 4 khi n là SNT lẻ thôi

 

[boon_angel_93]

Bạn làm S thì có
Đề bài của bạn huủtang đúng rồi
bạn coi lại đi

ơ !!!!!Bạn bảo là đang định post thì tớ post trưoc rồi mà
Sao ra kq khác tớ mà không bảo ngay

hai bạn này cãi nhau gớm thế cứ đưa đẩy nhau mãi thế rốt cuộc ai chịu nhường ai đây ,mà sao chả thấy đề bài nhỉ ????????

 

[silvery93]

f(x)=[TEX]\frac{x^{-n}-x^{-1}}{1-x}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)[/TEX]

\LeftrightarrowS=[TEX]\frac{(2x+1)^{1-n}-(3x+1)^{1-n}}{x}[/TEX]



a)Sử dụng 2 lần CSN

\Rightarrow[TEX]U_n=-17.2^n+8.3^n+6[/TEX]

b) sử dụng định lí nhỏ Fermat

\Rightarrow[TEX](U_n+4)=(-17.2^n+8.3^n+10)[/TEX] [TEX]\equiv 0 \pmod{n}[/TEX]

hay ([TEX]U_n+4) \vdots n[/TEX],\foralln là SNT

doremon bạn nhìn lại đi nhaz' sai rồi đó ( bạn bên trên đây ko fải là cãi nhau , là tranh luận bài )

bạn cũng nên hỉu là bik bạn sai nhưng chưa chắc t đã có tzan post bài

Đề dành cho lớp chuyên Toán
Bài 3:
Với -1 < x < 1 và x khác 0, xét hàm số
[TEX]f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^n}+...[/TEX]
Thu gọn biểu thức
[TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)[/TEX]

bài này bạn cũng sai lun

[TEX]f(x) = \frac{x^{-1} ( 1 - x^{-n} )} { x-1} [/TEX]

thay vào [TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)= \frac{( 2x+1)^{-n} - ( 3x+1)^{-n}}{x}[/TEX]

Bài 4:
Giả sử [TEX]P(x)=(x+1)^p(x-3)^q=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+...+a^n[/TEX]
trong đó p,q là các số nguyên dương
Chứng minh rằng nếu [TEX]a_1=a_2 \Rightarrow 3n=k^2[/TEX]

ko còn cách nào # : khai triển cũng ko ra ..???

Bài 5:
Cho dãy số, biết rằng
[TEX]\left{\begin{u_1=-4;u_2=10}\\{u_{n+2}+u_{n+1}-6u_n=12}[/TEX]
với mọi n thuộc N*
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số
b) Chứng minh rằng [TEX](u_n+4)[/TEX] chia hết cho n với mọi số nguyên tố n

U_n bạn tìm t kđịnh hoàn toàn sai : pt đặc trưng ngh là 2 và -3 ma`
( ko tin cứ thử lại )

[TEX]U_n = 2^n + ( -3){^n} - 3[/TEX]

b; cm [TEX](u_n+4)[/TEX] chia hết cho n với mọi số nguyên tố n

sr hôm trc ko đọc kĩ đề

\forall n ngtố thì [TEX](-3)^n\equiv -3 \pmod{n}[/TEX] và [TEX]2^n \equiv 2 \pmod{n}[/TEX]

\Rightarrow [TEX](u_n+4)=2^n + ( -3){^n} +1 \equiv 0 \pmod{n}[/TEX] hay [TEX](u_n+4)[/TEX] chia hết cho n với mọi số nguyên tố n

OK.................

 

[huutrang93]

bài này bạn cũng sai lun

[TEX]f(x) = \frac{x^{-1} ( 1 - x^{-n} )} { x-1} [/TEX]

thay vào [TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)= \frac{( 2x+1)^{-n} - ( 3x+1)^{-n}}{x}[/TEX]



ko còn cách nào # : khai triển cũng ko ra ..???



U_n bạn tìm t kđịnh hoàn toàn sai : pt đặc trưng ngh là 2 và -3 ma`
( ko tin cứ thử lại )

[TEX]U_n = 2^n + ( -3){^n} - 3[/TEX]

b; cm [TEX](u_n+4)[/TEX] chia hết cho n với mọi số nguyên tố n

sr hôm trc ko đọc kĩ đề

\forall n ngtố thì [TEX](-3)^n\equiv -3 \pmod{n}[/TEX] và [TEX]2^n \equiv 2 \pmod{n}[/TEX]

\Rightarrow [TEX](u_n+4)=2^n + ( -3){^n} +1 \equiv 0 \pmod{n}[/TEX] hay [TEX](u_n+4)[/TEX] chia hết cho n với mọi số nguyên tố n

OK.................

Lớp tớ chưa học đến bài dãy số nên tớ đọc bài các bạn mà ... không hiểu gì hết
Bài 3:
Nếu thế thử x=0,5; n=2 hoặc n=3 hoặc n=4 thì công thức của bạn doremon ra đúng kết quả

 

[doremon.]

Chán

Bài 3:
Với -1 < x < 1 và x khác 0, xét hàm số
[TEX]f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^n}+...[/TEX]
Thu gọn biểu thức
[TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)[/TEX]

a)Ta có :

[TEX]f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^n}+...[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n+1+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^n}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n+1+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^{n-1}+\frac{1}{x^n}-\frac{1}{x^n}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n+1+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}(S_n+1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^n})[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n=1+\frac{S_n}{x}-\frac{1}{x^{n+1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-1-\frac{1}{x}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{x}-1)S_n=\frac{1}{x^{n+1}-\frac{1}{x^2}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n=\frac{\frac{1}{x^{n+1}}-\frac{1}{x^2}}{(\frac{1}{x}-1)}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]S_n=\frac{x^{-n}-x^{-1}}{1-x}[/TEX]
b)

[TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)[/TEX]

[tex]3(3x+1).f(3x+1)=\frac{3(3x+1)[(3x+1)^{-n}-(3x-1)^{-1}]}{(1-1-3x)}[/TEX]

=[TEX]\frac{1-(3x+1)^{1-n}}{x}[/TEX]
[tex]2(2x+1).f(2x+1)=\frac{\frac{1-{(2x+1)}^{1-n}}{x}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]S=\frac{(2x+1)^{1-n}-(3x+1)^{1-n}}{x}[/TEX]

 

[doremon.]

Chán

Bài 5:

Cho dãy số, biết rằng

[TEX]\left{\begin{u_1=-4;u_2=10}\\{u_{n+2}+u_{n+1}-6u_n=12}[/TEX]

với mọi n thuộc N*

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số

b) Chứng minh rằng [TEX](u_n+4)[/TEX] chia hết cho n với mọi số nguyên tố n

a)[TEX]u_{n+2}+u_{n+1}-6u_n=12[/TEX]

Leftrightarrow[TEX](u_{n+2}-2u_{n+1})+3(u_{n+1}-2u_n)=12[/TEX]

Đặt [TEX]v_n=u_{n+1}-2u_n \Rightarrow \left{\begin{v_{n+1}-3v_n=12}\\{v_1=18} [/TEX]

\Rightarrow[TEX]v_n=8.3^{n}-6[/TEX]

\Rightarrow[TEX]u_{n+1}=2u_n+8.3^n-6[/TEX]

\Rightarrow[TEX]u_n=-17.2^n+8.3^n+6[/TEX]

b)

Theo định lí fermat ta có

[TEX]2^n=2(mod n)[/TEX]

[TEX]3^n=3(mod n)[/TEX]

\Rightarrow [TEX](u_n+4)=-17.2^n+8.3^n+10=(-17).2+8.3+10=0(mod n)[/TEX]

\Rightarrow [TEX](u_n+4) [/TEX] chia hết cho n \forall n là SNT

p/s: đây là cuối tớ nói về 2 bài này .Bạn nào làm ra kq bài 4 khác tớ thì post lên rồi thảo luận tiếp không thì bye topic

 

[boon_angel_93]

a)Ta có :

[TEX]f(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^n}+...[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n+1+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^n}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n+1+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}+...+\frac{1}{x^{n-1}+\frac{1}{x^n}-\frac{1}{x^n}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n+1+\frac{1}{x}=1+\frac{1}{x}(S_n+1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^n})[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n=1+\frac{S_n}{x}-\frac{1}{x^{n+1}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-1-\frac{1}{x}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX](\frac{1}{x}-1)S_n=\frac{1}{x^{n+1}-\frac{1}{x^2}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]S_n=\frac{\frac{1}{x^{n+1}-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}-1}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]S_n=\frac{x^{-n}-x^{-1}}{1-x}[/TEX]
b)

[TEX]S=3(3x+1).f(3x+1)-2(2x+1).f(2x+1)[/TEX]

3(3x+1).f(3x+1)=[TEX]\frac{3(3x+1)\frac{(3x+1)^{-n}-(3x-1)^{-1}}{1-3x-1}[/TEX]

=[TEX]\frac{1-(3x+1)^{1-n}}{x}[/TEX]
2(2x+1).f(2x+1)=[TEX]\frac{\frac{1-(2x+1)^{1-n}}{x}[/TEX]

\Rightarrow[TEX]S=\frac{(2x+1)^{1-n}-(3x+1)^{1-n}}{x}[/TEX]

hình như bạn viết nhầm một chỗ dòng thứ 3 từ trên xuống c/1x^3 ý