III- Một số bài toán về tính đạo hàm
Ví dụ 1:
Tính đạo hàm cấp 1 của
Riêng về những dạng đạo hàm
thì không thể dùng những phương pháp thông thường được ,Ta cần ln hai vế
Sau đó đạo hàm hai vế lúc đó ta có :
Từ đó ==> đạo hàm cần tìm
IV. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
1/ Tính đơn điệu của hàm số
a/ Điều kiện cần của tính đơn điệu
Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc (a;b)
f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc (a;b)
b/ Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)
f'(x) > 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) tăng trên (a;b)
f'(x) < 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) giảm trên (a;b)
c/ Hàm hằng
f là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọi x thuộc (a;b)
2/ Chứng minh bất đẳng thức
a/ Định lý Lagrange: Nếu f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c thuộc (a;b) sao cho
* Ý nghĩa hình học : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng AB
* Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho :
m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < M
Suy ra :
b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên
- Khảo sát sự biến thiên của hàm f
- Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f')
3/ Biện luận phương trình và bất phương trình
a/ Phương trình f(x) = m
- Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và đồ thị hàm số (C): y = f(x)
- Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C)
- Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm của phương trình
- Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f
b/ Bất phương trình f(x) < m
Gọi D là MXĐ của f(x)
- Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm dưới đường thẳng (d): y = m
- Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)
- Bất phương trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)
** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m