Ta xét điểm M nằm trong tam giác ABC.
Ta quay tam giác AMC một góc (quay theo chiều cùng với chiều đi ABC)
60 độ, và gọi M', C' là ảnh của M và C qua phép quay. Do tính chất của
phép quay ta có MA =M'A, MC = M'C'. Tam giác AMM' là tam giác đều
(tam giác cân mà góc MAM' = 60 độ do phép quay) nên MA = MM'.
suy ra MA + MB + MC = MM' + MB + M'C' = BM + MM' + M'C' suy ra BC'
Vì C' là ảnh của điểm cố định C nên là điểm cố định. Tổng MA + MB + MC
đạt min khi và chỉ khi B, M, M' và C' thẳng hàng. Ta xác định M sao cho
B, M, M' và C' thẳng hàng.
góc AMC = góc AM'C' = 180 độ - góc AM'M = 180 độ - 60 độ = 120 độ.
Vậy tổng MA + MB + MC đạt min khi và chỉ khi điểm M nhìn AC dưới góc 120 độ.
Tương tự ta có M nhìn AB và BC dưới góc 120 độ. Ta dựng điểm M như sau.
Lấy điểm B' sao cho BCB' là tam giác đều (B' và A nằm ở 2 bên của BC)
Gọi M là giao điểm (nằm trong ABC) của 2 đường tròn ngoại tiếp ACC' và
CBB'
suy ra góc AMC = góc BMC = 120 độ
suy ra góc AMB = 120 độ.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn