[toán 11] cm quy nạp bdt

[chaos_gemini]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cm vs mọi n nguyên dương :
(4^n) . ((n!)^2 ) < (2n)! . (n+1)

 

[kate_1452]

bạn ơi ... xem lại đề nhá ... mình nghĩ đề như vầy thì đúng hơn nè:
cm vs mọi n là số nguyên dương:
[TEX] 4^n.n!^2 \leq (2n)!.(n+1) [/TEX]

 

[son9701]

Với n=1 thì ta thấy ngay bất đẳng thức này phải là bất đẳng thức k chặt.

Giả sử vs n=k ( k nguyên dương ) thì bất đẳng thức này cũng đúng,tức là:

[TEX]4^k.k!^2 \leq (2k)!(k+1)[/TEX]

Ta cần cminh:

[TEX]4^{k+1}.(k+1)!^2 \leq (2k+2)!(k+2)[/TEX]

Thật vậy:

[TEX]VT= 4(k+1)^2.4^k.k!^2 \leq 4(k+1)^3.(2k)![/TEX]

Bài toán đc cminh nếu ta cm đc:

[TEX] 4(k+1)^3 \leq (2k+1)(2k+2)(k+2) \Leftrightarrow 4k^3+12k^2+12k+4 \leq 4k^3+14k^2+14k+4 \Leftrightarrow 2k^2+2k \geq 0 [/TEX](đúng mọi k nguyên dương)

Vậy ta có đpcm

 

[kate_1452]

... Mình giải bài trên lun nhá :

Với n=1: ta có [TEX] 4\leq 4 [/TEX] => luôn đúng. (1)

Với [TEX] n\geq 2[/TEX]: (bây giờ ta sử dụng quy nạp để cm)
_ Với n=2 ta có [TEX]4^2.(2!)^2 < 4!.3 \Leftrightarrow 64 \leq 72 [/TEX] (đúng)
_ Giả sử BĐT đúng với n=k
[TEX] 4^k.(k!)^2 \leq (2k)!.(k+1) [/TEX] [TEX] k\geq2 [/TEX]
_ Ta cần cm: BĐT đúng với n=k+1
[TEX] 4^(k+1).(k+1)!^2 \leq (2k+2)!.(k+2) [/TEX]
Ta có:
[TEX] 4^(k+1).(k+1)!^2 \leq (2k+2)!.(k+2) [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4.4^k.(k!)^2.(k+1)^2 \leq (2k)!.(2k+1).(2k+2).(k+2) [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4.4^k.(k!)^2.(k+1)^2 \leq (2k)!.(2k+1).2(k+1).(k+2) [/TEX]
Mà ta có :
[TEX] * 4^k.(k!)^2 \leq (2k)!.(k+1) [/TEX] (*)
[TEX] * 2 \leq k [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 2k^2 + 4k + 2 \leq 2k^2 + 4k +k [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 2.(k+1)^2 \leq (2k+1)(k+2) [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4.(k+1)^2 \leq 2(2k+1)(k+2) [/TEX] (**)
Từ (*) và (**) ta có:
[TEX] \Leftrightarrow 4.4^k.(k!)^2.(k+1)^2 \leq (2k)!.(2k+1).(2k+2).(k+2) [/TEX]
Hay [TEX] 4^(k+1).(k+1)!^2 \leq (2k+2)!.(k+2) [/TEX] (2)
Từ (1),(2):
Vậy: Với n là số nguyên dương thì:
[TEX] 4^n.(n!)^2 \leq (2n)!.(n+1) [/TEX]

 

[kate_1452]

... Mình giải bài trên lun nhá :

Với n=1: ta có [TEX] 4\leq 4 [/TEX] => luôn đúng. (1)

Với [TEX] n\geq 2[/TEX]: (bây giờ ta sử dụng quy nạp để cm)
_ Với n=2 ta có [TEX]4^2.(2!)^2 < 4!.3 \Leftrightarrow 64 \leq 72 [/TEX] (đúng)
_ Giả sử BĐT đúng với n=k
[TEX] 4^k.(k!)^2 \leq (2k)!.(k+1) [/TEX] [TEX] k\geq2 [/TEX]
_ Ta cần cm: BĐT đúng với n=k+1
[TEX] 4^(k+1).(k+1)!^2 \leq (2k+2)!.(k+2) [/TEX]
Ta có:
[TEX] 4^(k+1).(k+1)!^2 \leq (2k+2)!.(k+2) [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4.4^k.(k!)^2.(k+1)^2 \leq (2k)!.(2k+1).(2k+2).(k+2)[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4.4^k.(k!)^2.(k+1)^2 \leq (2k)!.(2k+1).2(k+1).(k+2)[/TEX]
Mà ta có :
[TEX] * 4^k.(k!)^2 \leq (2k)!.(k+1) [/TEX] (*)
[TEX] * 2 \leq k[/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 2k^2 + 4k + 2 \leq 2k^2 + 4k +k [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 2.(k+1)^2 \leq (2k+1)(k+2) [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow 4.(k+1)^2 \leq 2(2k+1)(k+2)[/TEX] (**)
Từ (*) và (**) ta có:
[TEX] \Leftrightarrow 4.4^k.(k!)^2.(k+1)^2 \leq (2k)!.(2k+1).(2k+2).(k+2)[/TEX]
Hay [TEX] 4^(k+1).(k+1)!^2 \leq (2k+2)!.(k+2) [/TEX] (2)
Từ (1),(2):
Vậy: Với n là số nguyên dương thì:
[TEX] 4^n.(n!)^2 \leq (2n)!.(n+1)[/TEX]