[Toán 11] Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

[nhocconyeye]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh với mọi số nguyên n, ta có:

1 + 1/căn2 + ... + 1/căn(n) < 2.căn(n)

 

[ngoc1thu2]

toán

ta có
n=1, đúng
giả sử đúng với n=k, ta chứng minh n=k+1 cũng đúng

\Rightarrow[TEX]1+1/sqrt2 +1/sqrt3 +.....+ 1/sqrt(k)< 2sqrt(k)[/TEX]

\Rightarrow...............................+[TEX]1/sqrt(k+1)[/TEX] < [TEX]2sqrt(k) + 1/sqrt(k+1)[/TEX]

<[TEX] {2sqrt(k^2+k)}/{sqrt(k+1)} [/TEX] < [TEX]{2(k+1/2)+1}/{sqrt(k+1)}[/TEX]
< [TEX]2sqrt(k+1)[/TEX]

\Rightarrow đpcm
p/s gõ mãi chả được

 

[noinhobinhyen]

Ta thấy mệnh đề đúng với n=1.

Giả sử mệnh đề đúng với n=k . Có nghĩa là :

$1+\dfrac{1}{\sqrt[]{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt[]{k}} < 2\sqrt[]{k}$

Ta sẽ chứng minh rằng mđề cũng đúng với n=k+1.

n=k+1 thì :

$VT=1+\dfrac{1}{\sqrt[]{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt[]{k}}+\dfrac{1}{\sqrt[]{k+1}}$

$\Leftrightarrow VT < 2\sqrt[]{k}+\dfrac{1}{\sqrt[]{k+1}}$

Ta chứng minh cho : $2\sqrt[]{k}+\dfrac{1}{\sqrt[]{k+1}} < 2\sqrt[]{k+1}$

nhân 2 vế với $\sqrt[]{k+1}$ ta có :

$2\sqrt[]{k}\sqrt[]{k+1}+1 < 2(k+1)$

$\Leftrightarrow 2\sqrt[]{k}\sqrt[]{k+1} < 2k+1$

$\Leftrightarrow 4(k^2+k) < 4k^2+4k+1$

Đúng.

Vậy mệnh đề trên đúng với mọi số nguyên dương n

 

[nhocconyeye]

<[TEX] {2sqrt(k^2+k)}/{sqrt(k+1)} [/TEX] < [TEX]{2(k+1/2)+1}/{sqrt(k+1)}[/TEX]
< [TEX]2sqrt(k+1)[/TEX]

mình không hiểu [TEX] {2sqrt(k^2+k)} [/TEX] sao bé hơn [TEX]{2(k+1/2)+1} [/TEX] thế bạn? phần mẫu số giống nhau, nên mình chỉ so tử số ^^