[Toán 11] Bất đẳng thức khó!

[hunggary]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho: x,y,z>=0 and x+y+z=1 . CMR: xxy + yyz + zzx <= 4/27. Mong mọi người làm giúp.Bài này mình làm ra chỉ <=3/27 nhưng cô nói sai. CHÚC MỌI NGƯỜI NĂM MỚI VUI VẺ>>>>>>>>>>>>>>>|-)

 

[hunggary]

do a,b,c bình đẳng nên ta có thể giả sử rằng a>=b>=c
=>(y^2)z <= xyz ; (z^2)x<= z(x^2)
=> T <= (x^2)y + xyz + (z^2)x/2 + (x^2)z/2 = x^2 (y+z/2)+xz(y+z/2) = x(x+z)(y+z/2) = 4[x/2.(x+z)/2.(y+z/2)
=> T <= [4.(x+y+z)^3] / 27 = 4/27 { BDT CôSi }
=> ĐPCM { Dấu = xảy ra khi x= 2/3 ; y= 1/3 ; z=0 } ...........................Đây chỉ là một trong số nhiều cách làm, mong mọi người tìm thêm nhiều cách giải hay hơn ...... hết tết rồi bắt đầu học hành thôi mọi người ơi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[duonganh1012]

do [TEX]a,b,c[/TEX] bình đẳng nên ta có thể giả sử rằng [TEX] a \geq b \geq c [/TEX]
[TEX] \Rightarrow y^2 z \leq xyz ; z^2 x \leq z x^2 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow T \leq x^2 y + xyz + \frac{z^2 x}{2} + \frac{x^2 z}{2} = x^2 (y+ \frac{z}{2})+xz(y+ \frac{z}{2}) = x(x+z)(y+ \frac{z}{2}) = 4[ \frac{x}{2} . \frac{x+z}{2}.(y+ \frac{z}{2})][/TEX]
[TEX]\Rightarrow T <= \frac{4.(x+y+z)^3}{27} = \frac{4}{27} [/TEX]{ BDT CôSi }
\Rightarrow ĐPCM { Dấu = xảy ra khi x= 2/3 ; y= 1/3 ; z=0 } ...........................Đây chỉ là một trong số nhiều cách làm, mong mọi người tìm thêm nhiều cách giải hay hơn ...... hết tết rồi bắt đầu học hành thôi mọi người ơi !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

lần sau đánh nhớ cho thêm tex vào nhìn cho dễ nha!
.......................................................................

 

[rua_it]

Bài toán tổng quát : [tex]y=\sum x^ny ; (n>0;n \in\ Z)[/tex]
[tex]\sum x=1 [/tex]

Không mất tính tổng quát, giả sử [tex]x=max(x,y,z)[/tex]

[tex] y=\sum x^ny \leq x^ny+x^{n-1}yz+xz^n \leq x^n+x^{n-1}yz+\frac{1}{2}.x^nz+\frac{1}{2}x^{n-1}.z^2 \\ \leq(x+z).(y+\frac{1}{2}.z).x^{n-1} \leq (x+z).(y+\frac{(n-1).z}{n}).x^{n-1}[/tex]

Ta phân hoạch cho n-1 số:

[tex] = [\frac{x}{n}.\frac{x}{n}...\frac{x}{n}].\frac{x+z}{n}.(y+\frac{z.(n-1)}{n}).n^n \\ \leq_{AM-GM} n^n.[\frac{\frac{x(.n-1)}{n}+\frac{x+z}{n}+\frac{(n-1).z}{n}+y}{n+1}]^{n+1} \leq \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

[tex]\left{\begin{x=\frac{n}{n+1}}\\{y=\frac{1}{n+1}}\\{z=0}[/tex]

Với
[tex]n=2 \rightarrow y_{max} =\frac{2^2}{3^3}=\frac{4}{27}[/tex]