[Toán 11]Bài toán tìm giới hạn hay !

Thảo luận trong 'Dãy số cấp số cộng, cấp số nhân' bắt đầu bởi binhtt, 15 Tháng tám 2009.

Lượt xem: 1,203

  1. binhtt

    binhtt Guest

    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Bài toán:
    Xét [​IMG] là một số thực tùy ý và dãy số [​IMG] được xác định bởi công thức: [​IMG] (trong đó [​IMG] là phần nguyên và phần lẻ của số thực [​IMG]).
    Chứng minh rằng: tồn tại chỉ số [​IMG] sao cho [​IMG], ta có [​IMG]

    Lời giải:
    - Với [​IMG], bài toán dễ dàng được giải quyết vì [​IMG]. Áp dụng (*) một số lần đủ lớn, suy ra tồn tại 1 chỉ số [​IMG] sao cho [​IMG]

    - Với [​IMG] hoặc [​IMG], bài toán hiển nhiên đúng

    - Với [​IMG], ta sẽ sử dụng 1 bổ đề như sau:
    Cho [​IMG] và dãy [​IMG] được xác định theo công thức truy hồi nói trên. Chứng minh rằng: tồn tại chỉ số [​IMG] sao cho, [​IMG], hoặc là [​IMG], hoặc là [​IMG]

    Do [​IMG] nên rõ ràng ta chỉ cần tìm chỉ số [​IMG] sao cho [​IMG]
    Giả sử chỉ số [​IMG] không tồn tại, tức với mọi [​IMG] ta có [​IMG]. Khi đó

    [​IMG]

    [​IMG]

    Do [​IMG] nên từ (**) sẽ xảy ra 2 trường hợp:
    + Hoặc [​IMG], khi đó [​IMG]. Bài toán được giải quyết
    + Hoặc [​IMG], khi đó tồn tại số n đủ lớn sao cho [​IMG]. Hiển nhiên [​IMG], nhưng do (1) nên [​IMG]

    Bổ đề được giải quyết. Áp dụng bổ đề một số lần hữu hạn, ta quy bài toán về trường hợp [​IMG]. Nhưng trường hợp này là hiển nhiên vì
    [​IMG]
    [​IMG]


    Mình thấy bài toán này rất hay, các bạn xem xong chắc sẽ có thêm chút kinh nghiệm. :-SS
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY