[Toán 11]bài tập về cấp số cộng liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác

[phinga93]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong tam giác ABC
1. có a, b, c lập thành cấp số cộng theo thứ tự a<b<c
CMR: ac=6Rr (R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác)

2. Có tan A/2, tan B/2, tan C/2 lập thành cấp số cộng
CMR: cos A, cos B, cos C lập thành cấp số cộng

3. sin A. sin B=3 sin^2(C/2). CMR: a,b,c là cấp số cộng
Mong các bạn giúp đỡ và cho mình biết cách làm những bài tập này. Cảm ơn các bạn nhiều

 

[123456auauau]

M` mới làm bài 2 thoai ^^ Mà bạn học chuyên Toán sao lại học trước như vậy? ^^


[TEX]Tan\frac{A}{2}[/TEX] ; [TEX]tan\frac{B}{2}[/TEX]; [TEX]tan\frac{C}{2}[/TEX] theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên

[TEX]Tan\frac{A}{2}[/TEX] + [TEX]tan\frac{B}{2}[/TEX] = 2[TEX]tan\frac{C}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]\frac{sin\frac{(A+C)}{2}}{cos\frac{A}{2}cos\frac{C}{2}}[/TEX] = 2[TEX]\frac{sin\frac{B}{2}}{cos\frac{B}{2}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]cos^2\frac{B}{2}[/TEX] = 2[TEX]sin\frac{B}{2}cos\frac{A}{2}cos\frac{C}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]\frac{cosB+1}{2}[/TEX] = [TEX]sin\frac{B}{2}(cos\frac{(A+C)}{2} + cos\frac{(A-C)}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] cosB + 1 = 2[TEX]sin^2\frac{B}{2}[/TEX] + 2[TEX]cos\frac{(A+C)}{2}cos\frac{(A-C)}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] cosB + 1 = 1 - cosB + cosA + cosC

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] 2cosB = cosA + cosC

Vậy 3 số cosA, cosB, cosC lập thành 1 cấp số cộng ^^

 

[phinga93]

mình làm được bài 1 rồi nên post lên để nếu ai cần thì dùng:
S=P.r (r là bán kính đường tròn nội tiếp ) (theo hệ thức lượng)
mà P=(a+b+c)/2.suy ra r= S/P
a,b,c là CSC nên a+c=2b suy ra P=3b/2
Có S=abc/4R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp) nên R= abc/4S
Vậy 6Rr= 6. abc/4S . 2S/3b = ac
suy ra ĐPCM

 

[ngomaithuy93]

Trong tam giác ABC
3. sin A. sin B=3 sin^2(C/2). CMR: a,b,c là cấp số cộng
Mong các bạn giúp đỡ và cho mình biết cách làm những bài tập này. Cảm ơn các bạn nhiều

[TEX] sinA.sinB=3sin^2\frac{C}{2}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]sinA.sinB.cos^2\frac{C}{2}=\frac{3}{4}sin^2C[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]sinA.sinB.\frac{1+cosC}{2}=\frac{3}{4}sin^2C[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{a}{2R}.\frac{b}{2R}.\frac{1}{2}.(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})=\frac{3}{4}.\frac{c^2}{4R^2}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{ab}{2}.\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}=\frac{3c^2}{4}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](a+b)^2=4c^2[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a+b=2c[/TEX]
\Rightarrowa, b, c lập thành một cấp số cộng.