Cho hàm số: y = 2x + acosx + bsin xTìm điều kiện đối với a và b để hàm số đồng biến trên R.
[TEX]y'=2-asinx+bcosx[/TEX]
+)TH1: a=b=0 \Rightarrow y'=2 > 0 \forall x \Rightarrow hàm số đồng biến trên R
+)TH2: [TEX]ab \neq 0[/TEX]
[TEX]y'=2-\sqrt{a^2+b^2}cos(x+\alpha)[/TEX]
trong đó:
[TEX]cos \alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},sin \alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow y' \geq 2-\sqrt{a^2+b^2} \Rightarrow Miny'=2-\sqrt{a^2+b^2}[/TEX]
Để hàm số đồng biến trên R thì y' \geq o mọi x thuộc R \Leftrightarrow Miny' \geq 0
[TEX]\Rightarrow 2-\sqrt{a^2+b^2} \geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2 \leq 4(1)[/TEX]
Dễ thấy a=b=0 thỏa mãn (1)
Vậy:[TEX]a^2+b^2 \leq 4[/TEX]