Toán [toán 11]bài ôn hsg

[toilatot]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: (6.0đ) 1) Giải phương trình: $x=2-(2-x^{2})^{2}$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-y=3x\\3x^2-2y^2+y=3x \end{matrix}\right.$
Câu 2: (3.5đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-x^2}+2}{1+\sqrt{2x-x^2}}$ trên đoạn $[\frac{1}{4};\frac{3}{2}]$.
Câu 3: (4.0đ)
1) Ba góc $\alpha,\beta,\gamma\in(0;\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn: $cos(\alpha-\beta)=1,sin(\beta+2\gamma)=0$. Chứng minh rằng: $cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \le \frac{3}{2}$.
2) Biết $\frac{1006}{2013}<\frac{a}{b}<\frac{1007}{2015};a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh: $a \ge 2013$.
Câu 4: (3.5đ)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có thể tích bằng 1. Tam giác ABC vuông cân tại A và có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác AA'C. Điểm M di động trên AB và điểm N di động trên A'C' sao cho $AM=C'N>0$. Gọi I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: I luôn luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất trong các khoảng cách từ I đến đường thẳng AA' khi MN thay đổi.
Câu 5: (3.0đ)
Cho tập hợp A có n phần tử ($n>1$) và đánh dấu n phần tử đó là $a_1,a_2,...,a_k,...,a_n$. Sắp xếp n phần tử của A thành dãy hàng ngang theo thứ tự từ trái sang phải, gọi dãy như vậy là dãy (*). Gán cho phần tử $a_k$ ($k=1,2,...,n$) trong dãy (*) một giá trị $G_k$ theo qui tắc sau:
+ Nếu $a_k$ đứng ở vị trí đầu tiên trong dãy (*) thì $G_k=1$;
+ Gỉa sử $a_k$ đứng từ vị trí thứ hai trở đi và phần tử $a_i$ đứng bên trái $a_k$ thì $G_k=k$ nếu $k>i$ và $G_k=1$ nếu $k<i$.
Đặt $S=G_1+G_2+...+G_n$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S đạt được khi các dãy (*) thay đổi.
Tìm số phần tử của tập A trong mỗi trường hợp sau:
1) Biết $M-m=15$.
2) Cả hai giá trị M và m đều là số nguyên tố.

mong làm hộ
@Nghĩa bá đạo
@phuongthao1910@gmail.com
@Cao Khánh Tân
@Trường Xuân
@Xuân Long

 

[Nghĩa bá đạo]

Câu 2 Ta dựa vào hàm số dễ dàng tìm thấy MAX, MIN [tex]\sqrt{2x-x^{2}}[/tex] tại x=1 ; [tex]\frac{1}{4}[/tex].......Từ đó có được Max ,Min f(x)..

 

[Mark Urich]

Câu 1: (6.0đ) 1) Giải phương trình: $x=2-(2-x^{2})^{2}$
2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy-y=3x\\3x^2-2y^2+y=3x \end{matrix}\right.$
Câu 2: (3.5đ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f(x)=\frac{\sqrt{2x-x^2}+2}{1+\sqrt{2x-x^2}}$ trên đoạn $[\frac{1}{4};\frac{3}{2}]$.
Câu 3: (4.0đ)
1) Ba góc $\alpha,\beta,\gamma\in(0;\frac{\pi}{2})$ thỏa mãn: $cos(\alpha-\beta)=1,sin(\beta+2\gamma)=0$. Chứng minh rằng: $cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \le \frac{3}{2}$.
2) Biết $\frac{1006}{2013}<\frac{a}{b}<\frac{1007}{2015};a,b \in \mathbb{Z}^+$. Chứng minh: $a \ge 2013$.
Câu 4: (3.5đ)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có thể tích bằng 1. Tam giác ABC vuông cân tại A và có diện tích bằng nửa diện tích của tam giác AA'C. Điểm M di động trên AB và điểm N di động trên A'C' sao cho $AM=C'N>0$. Gọi I là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: I luôn luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Tìm giá trị nhỏ nhất trong các khoảng cách từ I đến đường thẳng AA' khi MN thay đổi.
Câu 5: (3.0đ)
Cho tập hợp A có n phần tử ($n>1$) và đánh dấu n phần tử đó là $a_1,a_2,...,a_k,...,a_n$. Sắp xếp n phần tử của A thành dãy hàng ngang theo thứ tự từ trái sang phải, gọi dãy như vậy là dãy (*). Gán cho phần tử $a_k$ ($k=1,2,...,n$) trong dãy (*) một giá trị $G_k$ theo qui tắc sau:
+ Nếu $a_k$ đứng ở vị trí đầu tiên trong dãy (*) thì $G_k=1$;
+ Gỉa sử $a_k$ đứng từ vị trí thứ hai trở đi và phần tử $a_i$ đứng bên trái $a_k$ thì $G_k=k$ nếu $k>i$ và $G_k=1$ nếu $k<i$.
Đặt $S=G_1+G_2+...+G_n$. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S đạt được khi các dãy (*) thay đổi.
Tìm số phần tử của tập A trong mỗi trường hợp sau:
1) Biết $M-m=15$.
2) Cả hai giá trị M và m đều là số nguyên tố.

mong làm hộ
@Nghĩa bá đạo
@phuongthao1910@gmail.com
@Cao Khánh Tân
@Trường Xuân
@Xuân Long

Câu 1:
biến đổi tương đương sẽ đưa pt về dạng: x (x-1)([tex]x^{2}[/tex] + x - 3) = 0. dễ dàng giải pt này.

Câu1.2:
nhân pt 1 với 3 và trừ cho pt 2 sẽ suy ra: (y-2)(3x + 2y) = 0
từ đó dễ giải có 4 nghiệm là: (-1,2), (2,2), (0,0), (-3, 9/2)

Câu 2:
[tex]t = \sqrt{2x - x^{2}}[/tex] với 1/4 <= x <= 3/2
tính đạo hàm t' = [tex]\frac{1-x}{\sqrt{2x - x^{2}}}[/tex] dễ thấy hàm đồng biến khi x < 1 và nghịch biến khi x > 1.
vậy tập giá trị của t là min (t(1/4), t(3/2)) <= t <= t(1)
hay: [tex]t \in \left [ \frac{\sqrt{7}}{4}, 1 \right ][/tex]
hoặc có thể khảo sát hàm bậc 2 : 2x - x[tex]^{2}[/tex] rồi suy ra tập giá trị của t cũng đc.
từ đó:
y = [tex]1 + \frac{1}{t + 1}[/tex]
vì hàm 1/(t+1) nghịch biến nên suy ra:
y(min) = y([tex]t_{max}[/tex] ) = 3/2 khi x = 1.
y(max) = y([tex]t_{min}[/tex] ) = .... = [tex]\frac{\sqrt{7} + 8}{\sqrt{7} + 4}[/tex] khi x = 1/4.

Câu 3.1:
từ đk của các góc ta dễ suy ra [tex]\alpha = \beta, \beta + 2\gamma = \frac{\pi }{2}[/tex]
từ đó đưa biểu thức về dạng:
cosa + 2sina.cosa <= 3/2 với 0 < a < [tex]\pi[/tex]/2
đặt t = cosa và đưa về hàm của t:
[tex]t + 2t.\sqrt{1-t^{2}} \leq \frac{3}{2}, 0 < t < 1[/tex]
biến đổi tương đương bình phương lên (do 2 vế đều dương) ta có hàm bậc 4, rồi tính [tex]\Delta '[/tex] chẳng hạn ta thấy nó < 0 với t trong khoảng 0 và 1.
suy ra dpcm.

Câu 3.2:
quy đồng mẫu và nhân chéo ta có:
1006b < 2013a
2015a < 1007b
suy ra: 1006b + 2a < 1007b hay b > 2a. suy ra b = 2a + k, với k >= 1 và nguyên dương.
thay vào 1 bất pt trên chẳng hạn suy ra:
2012a + 1006k < 2013a, suy ra: a > 1006k.
mặt khác viết lại 2 bất pt của bài toán dưới dạng:
[tex]2 + \frac{1}{1007} < \frac{b}{a} < 2 + \frac{1}{1006}[/tex]
hay: [tex]2 + \frac{1}{1007} < 2 + \frac{k}{a} < 2 + \frac{1}{1006}[/tex]
hay: [tex]\frac{1}{1007} < \frac{k}{a} < \frac{1}{1006}[/tex]
rõ ràng k không thể = 1 được vì nếu k = 1 thì suy ra:
[tex]\frac{1}{1007} < \frac{1}{a} < \frac{1}{1006}[/tex]
hay 1006 < a < 1007 vô lý vì a nguyên dương.
vậy k >= 2 trở lên và a > 1006k >= 2012, nghĩa là a >= 2013

Câu 4:
thường có 3 cách giải là dùng phương pháp tọa độ, dùng vectơ, hoặc cách thông thương. tôi trình bày phương pháp vectơ.
Vì tam giác vuông cân diện tích = 1 và bằng nửa diện tích tam giác AA'C, nên dễ tính toán đc cạnh bên của tam giác ABC cũng = 1 và chiều cao của lăng trụ = 2.
a = 1, h = 2. a và h là cạnh bên và chiều cao lăng trụ.
gọi H là trung điểm AA'. P là trung điểm BB' và Q là trung điểm CC'.
giả sử AM = C'N = k > 0.
ta có:
[tex]2\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{HM} + \overrightarrow{HN} = \overrightarrow{HA} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{HA'} + \overrightarrow{A'N}[/tex]
hay:
[tex]2\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{A'N} = \frac{AM}{AB}.\overrightarrow{AB} + \frac{A'N}{A'C'}.\overrightarrow{A'C'}= k.\overrightarrow{AB} + (1-k)\overrightarrow{A'C'}[/tex]
vì: [tex]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{HP}, \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{HQ}[/tex]
suy ra: [tex]\overrightarrow{HI} = \frac{k}{2}.\overrightarrow{HP} + \frac{1-k}{2}.\overrightarrow{HQ}[/tex]
do các vectơ HP và HQ không cùn phương (cắt nhau tại H), nên suy ra 3 vectơ HP, HQ và HI đồng phẳng.
vậy [tex]I \in mp(HPQ)[/tex] là mặt phẳng cố định.
rõ ràng AA' vuông góc mp HPQ, nên AA' vuông góc HI.
ta tính độ dài HI:
bình phương lên ta có:
[tex]HI^{2} = \frac{k^{2}}{4}.HP^{2} + \frac{(1-k)^{2}}{4}.HQ^{2} + 0[/tex]
do HP = HQ = 1 nên:
[tex]HI^{2} = \frac{2k^{2} -2k + 1}{4} = (k-\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{8}[/tex]
vậy HI(min) = [tex]\frac{1}{2\sqrt{2}}[/tex] khi k = 1/2 tức là M là trung điểm AB.

Câu 5:
theo quy tắc của bài toán thì rõ ràng các giá trị G(k) đc gán sẽ nằm trong khoảng 1 đến n.
phần tử đầu tiên bao jờ cũng đc gán là 1.
do: G(ak) nhỏ nhất là 1 khi phần tử trái có chỉ số lớn hơn, và G(ak) lớn nhất là k khi phần tử trái có chỉ số nhỏ hơn.
vậy S nhỏ nhất khi các G(ak) đều = 1, nghĩa là tất cả các phần tử đc gán giá trị 1, điều này xảy ra khi phần tử bên trái luôn có chỉ số lớn hơn phần tử bên phải, nói cách khác là các chỉ số giảm dần nghĩa là thứ tự của các phần tử từ trái sang phải là:
a(n) -- a(n-1) -- .... a2 -- a1 (hoán vị từ phần tử có chỉ số lớn nhất đến chỉ số nhỏ nhât)
S lớn nhất khi các G(ak) = k nghĩa là phần tử luôn có chỉ số lớn hơn phần tử bên trái, nói cách khác các chỉ số là tăng dần, nghĩa là dãy sẽ là:
a1 -- a2 -- a3 -- ... -- a(n-1) -- a(n)
từ đó dễ tính đc các giá trị:
m = 1 + 1 + ... + 1 = n
M = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

nếu M - m = 15 thì dễ tính đc n = 6.

Nếu m và M nguyên tố, ta thấy M luôn có ước là n nên chỉ có n = 2 là nghiệm duy nhất, vì nếu từ 3 trở lên thì M luôn có ước là n nên nó ko thể nguyên tố đc.