[Toán 11] 2 bài toán về phương trình lượng giác

L

luffy_95

2/
[TEX]\Leftrightarrow 1+sin{\frac{x}{2}}.sinx- cos {\frac{x}{2}}.sin^2x=1+cos(\frac{\pi}{2}-x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sinx(sin{\frac{x}{2}} - cos {\frac{x}{2}}.sinx - 1) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow sinx(sin{\frac{x}{2}} - 2cos ^2{\frac{x}{2}}.sin{\frac{x}{2}} - 1) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow sinx[sin{\frac{x}{2}} - 2(1- sin^2{\frac{x}{2}}).sin{\frac{x}{2}} - 1] = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow sinx(2sin^3{\frac{x}{2}} - sin{\frac{x}{2}} - 1) = 0[/TEX]

OK !
 
Last edited by a moderator:
T

truongduong9083

Chào bạn

bài toán có hai khả năng xảy ra
1. {sinx=1sin2x=1\left\{ \begin{array}{l} sinx = 1 \\ sin2x = -1 \end{array} \right.
(Vô nghiệm vì nếu  sinx=1 cosx=0sin2x=0\ sinx = 1 \Rightarrow \ cosx = 0 \Rightarrow sin2x = 0 (Vô lí)
2. { sinx=1sin2x=1\left\{ \begin{array}{l} \ sinx = - 1 \\ \sin2x = 1 \end{array} \right.
(Vô nghiệm vì nếu  sinx=1 cosx=0sin2x=0\ sinx = - 1 \Rightarrow \ cosx = 0 \Rightarrow sin2x = 0 (Vô lí)
KL: phương trình vô nghiệm nhé
 
A

anprao123

Giaỉ giúp mình thêm bài này nữa nhé :) mình suy nghĩ mãi, làm đủ kiểu mà không ra :(

[TEX]sin^3(x) - cos^3(x) = sin(x) + cos(x)[/TEX]
 
J

jet_nguyen

Giaỉ giúp mình thêm bài này nữa nhé :) mình suy nghĩ mãi, làm đủ kiểu mà không ra :(

[TEX]sin^3(x) - cos^3(x) = sin(x) + cos(x)[/TEX]

Bạn tham khảo cách này nhé.

Ta viết phương trình lại thành:
sin3x+sinx=cos3x+cosx(1)\sin^3x +\sin x=\cos^3x +\cos x(1) Xét hàm số f(t)=t3+tf(t)=t^3+t trên [1,1][-1,1]
Ta có:
f(t)=2t2+1>0f '(t)=2t^2+1 >0 \forallx[1,1] x\in [-1,1]
Suy ra f(t)f(t) tăng trên [1,1][-1,1].
Mặt khác (1) có dạng: f(sinx)=f(cosx)f(\sin x)=f(\cos x) nên (1) tương đương: sinx=cosx\sin x=\cos xx=π4+kπ\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi
 
A

anprao123


Bạn tham khảo cách này nhé.

Ta viết phương trình lại thành:
sin3x+sinx=cos3x+cosx(1)\sin^3x +\sin x=\cos^3x +\cos x(1) Xét hàm số f(t)=t3+tf(t)=t^3+t trên [1,1][-1,1]
Ta có:
f(t)=2t2+1>0f '(t)=2t^2+1 >0 \forallx[1,1] x\in [-1,1]
Suy ra f(t)f(t) tăng trên [1,1][-1,1].
Mặt khác (1) có dạng: f(sinx)=f(cosx)f(\sin x)=f(\cos x) nên (1) tương đương: sinx=cosx\sin x=\cos xx=π4+kπ\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi
Mình không hiểu chỗ này bạn giải thích giúp mình với f(t)=2t2+1>0f '(t)=2t^2+1 >0
 
J

jet_nguyen

Mình không hiểu chỗ này bạn giải thích giúp mình với f(t)=2t2+1>0f '(t)=2t^2+1 >0
Điều này đúng trên RR luôn mà bạn.

Với mọi t ta có:
t20t^2 \ge 02t20\Longleftrightarrow 2t^2 \ge 02t2+11\Longleftrightarrow 2t^2 +1 \ge 12t2+1>0 \Longrightarrow 2t^2 +1 > 0
 
A

anprao123

Mình làm bài này mà cứ phân vân không biết đúng hay không, nếu sai thì mong mấy bạn giúp mình xem thử :)

[TEX] 1 + sin(x) + cos(x) + sin(2x) + 2cos(2x) = 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (1+ sin(2x) ) + (sin(x) + cos(x)) + 2(cos(x) - sin(x))(cos(x)+sin(x)) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (sin(x)+cos(x))(sin(x) + cos(x) + 1 + 2cos(x) - 2sin(x)) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]sin(x) + cos(x) = 0[/TEX] hoặc [TEX]3cos(x) - sin(x) +1 =0[/TEX]

Giải tiếp ra nghiệm là [TEX]x = \frac{pi}{2} + k2pi[/TEX] hoặc [TEX]x = \frac{pi}{4} + kpi[/TEX] hoặc [TEX]x = \frac{pi}{2} + 2aphal + k2pi[/TEX]
 
T

truongduong9083

Chào bạn

Bạn đưa về phương trình tích đúng rồi. Mỗi chỗ đưa ra nghiệm là vấn đề thôi nhé
+ sinx+cosx=0x=π4+kπsinx + cosx = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4}+k\pi
+ 3cosxsinx=13cosx - sinx = - 1
Dạng này bạn đọc lại cách giải phương trình a sinx+b cosx=ca\ sinx+b\ cosx = c nhé
 
A

anprao123

Bạn đưa về phương trình tích đúng rồi. Mỗi chỗ đưa ra nghiệm là vấn đề thôi nhé
+ sinx+cosx=0x=π4+kπsinx + cosx = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4}+k\pi
+ 3cosxsinx=13cosx - sinx = - 1
Dạng này bạn đọc lại cách giải phương trình a sinx+b cosx=ca\ sinx+b\ cosx = c nhé
[TEX]x = \frac{pi}{2} + k2pi[/TEX] hoặc [TEX]x = \frac{pi}{2} + 2aphal + k2pi[/TEX]
2 kết quả này là mình dùng cách giải a sinx+b cosx=ca\ sinx+b\ cosx = c để làm đó nhưng sợ sai :(
 
Last edited by a moderator:
T

truongduong9083

Chào bạn

3cosxsinx=13cosx - sinx = -1
chia hai vế cho 10\sqrt{10} ta được
cosx.310sinx.110=1cosx.\frac{3}{\sqrt{10}} - sinx.\frac{1}{\sqrt{10}} = -1
Đặt cosα=310;sinα=110cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}; sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}
phương trình viết lại thành
cos(x+α)=sinαcos(x + \alpha) = - sin \alpha
cos(x+α)=sin(α)\Leftrightarrow cos(x + \alpha) = sin(-\alpha)
cos(x+α)=cos(π2+α)\Leftrightarrow cos(x + \alpha)= cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)
Đến đây bạn gải tiếp so sánh kết quả nhé
 
Last edited by a moderator:
Top Bottom