[Toán 11] 2 bài toán về phương trình lượng giác

[anprao123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[TEX]1) sinxsin2x=-1[/TEX]

[TEX]2) 1+sin(\frac{x}{2})sinx - cos(\frac{x}{2})sin^2(x) = 2cos^2(\frac{pi}{4}-\frac{x}{2})[/TEX]

 

[luffy_95]

2/
[TEX]\Leftrightarrow 1+sin{\frac{x}{2}}.sinx- cos {\frac{x}{2}}.sin^2x=1+cos(\frac{\pi}{2}-x)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sinx(sin{\frac{x}{2}} - cos {\frac{x}{2}}.sinx - 1) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow sinx(sin{\frac{x}{2}} - 2cos ^2{\frac{x}{2}}.sin{\frac{x}{2}} - 1) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow sinx[sin{\frac{x}{2}} - 2(1- sin^2{\frac{x}{2}}).sin{\frac{x}{2}} - 1] = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow sinx(2sin^3{\frac{x}{2}} - sin{\frac{x}{2}} - 1) = 0[/TEX]

OK !

 

[truongduong9083]

Chào bạn

bài toán có hai khả năng xảy ra
1. $\left\{ \begin{array}{l} sinx = 1 \\ sin2x = -1 \end{array} \right.$
(Vô nghiệm vì nếu $\ sinx = 1 \Rightarrow \ cosx = 0 \Rightarrow sin2x = 0$ (Vô lí)
2. $\left\{ \begin{array}{l} \ sinx = - 1 \\ \sin2x = 1 \end{array} \right.$
(Vô nghiệm vì nếu $\ sinx = - 1 \Rightarrow \ cosx = 0 \Rightarrow sin2x = 0$ (Vô lí)
KL: phương trình vô nghiệm nhé

 

[anprao123]

Giaỉ giúp mình thêm bài này nữa nhé mình suy nghĩ mãi, làm đủ kiểu mà không ra

[TEX]sin^3(x) - cos^3(x) = sin(x) + cos(x)[/TEX]

 

[jet_nguyen]

Giaỉ giúp mình thêm bài này nữa nhé mình suy nghĩ mãi, làm đủ kiểu mà không ra

[TEX]sin^3(x) - cos^3(x) = sin(x) + cos(x)[/TEX]

Bạn tham khảo cách này nhé.
Ta viết phương trình lại thành:
$$\sin^3x +\sin x=\cos^3x +\cos x(1)$$ Xét hàm số $f(t)=t^3+t$ trên $[-1,1]$
Ta có:
$f '(t)=2t^2+1 >0$ \forall$x\in [-1,1]$
Suy ra $f(t)$ tăng trên $[-1,1]$.
Mặt khác (1) có dạng: $f(\sin x)=f(\cos x)$ nên (1) tương đương: $$\sin x=\cos x$$$$\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$$

 

[anprao123]

Bạn tham khảo cách này nhé.
Ta viết phương trình lại thành:
$$\sin^3x +\sin x=\cos^3x +\cos x(1)$$ Xét hàm số $f(t)=t^3+t$ trên $[-1,1]$
Ta có:
$f '(t)=2t^2+1 >0$ \forall$x\in [-1,1]$
Suy ra $f(t)$ tăng trên $[-1,1]$.
Mặt khác (1) có dạng: $f(\sin x)=f(\cos x)$ nên (1) tương đương: $$\sin x=\cos x$$$$\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$$

Mình không hiểu chỗ này bạn giải thích giúp mình với $f '(t)=2t^2+1 >0$

 

[jet_nguyen]

Mình không hiểu chỗ này bạn giải thích giúp mình với $f '(t)=2t^2+1 >0$

Điều này đúng trên $R$ luôn mà bạn.
Với mọi t ta có:
$$t^2 \ge 0$$$$\Longleftrightarrow 2t^2 \ge 0$$$$\Longleftrightarrow 2t^2 +1 \ge 1$$$$\Longrightarrow 2t^2 +1 > 0$$

 

[anprao123]

Mình làm bài này mà cứ phân vân không biết đúng hay không, nếu sai thì mong mấy bạn giúp mình xem thử

[TEX] 1 + sin(x) + cos(x) + sin(2x) + 2cos(2x) = 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (1+ sin(2x) ) + (sin(x) + cos(x)) + 2(cos(x) - sin(x))(cos(x)+sin(x)) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (sin(x)+cos(x))(sin(x) + cos(x) + 1 + 2cos(x) - 2sin(x)) = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]sin(x) + cos(x) = 0[/TEX] hoặc [TEX]3cos(x) - sin(x) +1 =0[/TEX]

Giải tiếp ra nghiệm là [TEX]x = \frac{pi}{2} + k2pi[/TEX] hoặc [TEX]x = \frac{pi}{4} + kpi[/TEX] hoặc [TEX]x = \frac{pi}{2} + 2aphal + k2pi[/TEX]

 

[truongduong9083]

Chào bạn

Bạn đưa về phương trình tích đúng rồi. Mỗi chỗ đưa ra nghiệm là vấn đề thôi nhé
+ $sinx + cosx = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4}+k\pi$
+ $3cosx - sinx = - 1$
Dạng này bạn đọc lại cách giải phương trình $a\ sinx+b\ cosx = c$ nhé

 

[anprao123]

Bạn đưa về phương trình tích đúng rồi. Mỗi chỗ đưa ra nghiệm là vấn đề thôi nhé
+ $sinx + cosx = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4}+k\pi$
+ $3cosx - sinx = - 1$
Dạng này bạn đọc lại cách giải phương trình $a\ sinx+b\ cosx = c$ nhé

[TEX]x = \frac{pi}{2} + k2pi[/TEX] hoặc [TEX]x = \frac{pi}{2} + 2aphal + k2pi[/TEX]
2 kết quả này là mình dùng cách giải $a\ sinx+b\ cosx = c$ để làm đó nhưng sợ sai

 

[truongduong9083]

Chào bạn

$3cosx - sinx = -1$
chia hai vế cho $\sqrt{10}$ ta được
$cosx.\frac{3}{\sqrt{10}} - sinx.\frac{1}{\sqrt{10}} = -1$
Đặt $cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{10}}; sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$
phương trình viết lại thành
$cos(x + \alpha) = - sin \alpha$
$\Leftrightarrow cos(x + \alpha) = sin(-\alpha)$
$\Leftrightarrow cos(x + \alpha)= cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)$
Đến đây bạn gải tiếp so sánh kết quả nhé