Ta sử dụng bài toán tổng quát:
Xét tam thức bậc 2 $f(x)=ax^2+bx+c$ trên $\left[\alpha,\beta\right]$ với $a>0$
Định lý 1. Nếu $\dfrac{-b}{2a}\in \left[\alpha,\beta\right]$ thì $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\dfrac{-b}{2a}$
Điều này chứng minh dễ dàng qua phép biểu diễn:
$$f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$
Định lý 2. Nếu $\dfrac{-b}{2a}\not\in\left[\alpha,\beta\right]$ thì $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=\alpha$ hoặc $x=\beta$
Thật vậy, vì $\dfrac{-b}{2a}\not\in\left[\alpha,\beta\right]$ ta có hai trường hợp:
TH1. $\alpha\ge \dfrac{-b}{2a}$ nên:
$$f(x)-f(\alpha)=a(x-\alpha)\left(x+\alpha+\dfrac{b}{a}\right)\ge a(x-\alpha)\left(x+\alpha-2\alpha\right)=a(x-\alpha)^2\ge 0$$
TH2. $\beta\ge \dfrac{-b}{2a}$ nên:
$$f(x)-f(\beta)=a(x-\beta)\left(x+\beta+\dfrac{b}{a}\right)\ge a(x-\beta)^2\ge 0$$
Định lý 3. Giá trị lớn nhất của $f(x)$ đạt tại $x=\alpha$ hoặc $x=\beta$
Thật vậy, ta xét hiệu:
$$f(x)-f(\alpha)=a(x-\alpha)\left(x+\alpha+\dfrac{b}{a}\right)\le a(x-\alpha)\left(\alpha+\beta+\dfrac{b}{a}\right)$$
$$f(x)-f(\beta)=a(x-\beta)\left(x+\beta+\dfrac{b}{a}\right)\le a(x-\beta)\left(\alpha+\beta+\dfrac{b}{a}\right)$$
Điều này cho thấy tùy thuộc vào dấu của $\alpha+\beta+\dfrac{b}{a}$ âm hay không âm mà cho ra giá trị lớn nhất của $f(x)$ tại $x=\alpha$ hoặc $x=\beta$
Các định lý này còn có thể chứng minh ngắn gọn hơn bằng phương pháp đồ thị.
Thiết lập các định lý tương tự với giả thiết $a<0$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn