[Toán 10] Loạt bài về vectơ

[hoahuongduong633]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c và tâm đường tròn nội tiếp I
Cmr: [TEX]a\vec{IA}\ + b\vec{IB}\ + c\vec{IC}\ = \vec0\[/TEX]
2. Tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Cmr:
a. [TEX]\vec{HA}\ + \vec{HB}\ + \vec{HC}\ = 2\vec{HO}\[/TEX]
b. [TEX]\vec{OA}\ + \vec{OB}\ + \vec{OC}\ = \vec{OH}\[/TEX]
c. [TEX]O, G, H[/TEX] thẳng hàng
3. Gọi M là điểm thuộc miền trong của tam giác đều ABC và I,J,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, BC, CA
Cmr: [TEX] \vec{MA}\ + \vec{MB}\ + \vec{MC}\ = 2(\vec{MI}\ + \vec{MJ}\ + \vec{MK}\)[/TEX]

 

[lp_qt]

Kéo dài AI cắt BC tại M.

• $AM$ là phân giác $\rightarrow \dfrac{MB}{MC}=\dfrac{c}{b}$

$\rightarrow b\vec{MB}+c\vec{MC}=\vec{0}$ (vì $\vec{MB}$và $\vec{MC}$ngược hướng) (*)

• $\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{c}{b}$

$\rightarrow \dfrac{MB}{BC}=\dfrac{c}{b+c}$

$\rightarrow MB=\dfrac{ac}{b+c}$

Mà BI là tia phân giác suy ra $\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{IA}{IM} =\dfrac{c}{\dfrac{ac}{b+c}} =\dfrac{b+c}{a}$ (*)(*)


Tách $\vec{IB}$ thành tổng $\vec{IM}$ và $\vec{MB}$ ; $\vec{IC}$ thành tổng $\vec{IM}$ và $\vec{MC}$ sau đó áp dụng (*) và (*)(*) suy ra đpcm

 

[lp_qt]

Câu 2

a. $\vec{HA} + \vec{HB}+ \vec{HC} = 2\vec{HO}$

Kẻ đường kính AK. Ta chứng minh được $BHCK$ là hình bình hành

$\rightarrow \vec{HB}+ \vec{HC}=\vec{HK}$

$\rightarrow \vec{HA} + \vec{HB}+ \vec{HC}= \vec{HK}+\vec{HC}= 2\vec{HO}$ (Do O là trung điểm của AK)


b. $\vec{OA} + \vec{OB}+ \vec{OC}= \vec{OH}$

$2.\vec{HO}=\vec{HA} + \vec{HB}+ \vec{HC}=\vec{HO}+\vec{OA}+\vec{HO}+\vec{OB}+\vec{HO}+\vec{OC}=3.\vec{HO}+\vec{OA} + \vec{OB}+ \vec{OC} \rightarrow \vec{OA} + \vec{OB}+ \vec{OC}=\vec{OH}$

c. $O, G, H$ thẳng hàng

mặt khác: $\vec{OA} + \vec{OB}+ \vec{OC}=3.\vec{OG}$

$\rightarrow \vec{OH}=3.\vec{OG}$

Suy ra đpcm.

 

[lp_qt]

Câu 3

Gọi O là tâm của tam giác

Ta có: $\overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{MK}+ \overrightarrow{MJ}=\dfrac{3}{2}.\overrightarrow{MO}$ (Chứng minh tại đây)

mà $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}=3.\overrightarrow{MO}$

Ta có đpcm