[Toán 10 ] Khó

T

thaisonb1

nguyenkhacthi said:
Cho 4 số thực dương a,b,c,d . CMR :
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2[/TEX]
Ta có:
[TEX]\frac{a}{b+c}> \frac{a}{a+b+c+d}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{c+d}> \frac{b}{a+b+c+d}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{a+d}> \frac{c}{a+b+c+d}[/TEX]
[TEX]\frac{d}{a+b}> \frac{d}{a+b+c+d}[/TEX]
=>[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1[/TEX]
=>[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2[/TEX]
Có ai giải = AM-GM và bunhia-copski được ko post cho mình cái:D
 
N

nguyenkhacthi

Ta có:
[TEX]\frac{a}{b+c}> \frac{a}{a+b+c+d}[/TEX]
[TEX]\frac{b}{c+d}> \frac{b}{a+b+c+d}[/TEX]
[TEX]\frac{c}{a+d}> \frac{c}{a+b+c+d}[/TEX]
[TEX]\frac{d}{a+b}> \frac{d}{a+b+c+d}[/TEX]
=>[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1[/TEX]
=>[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2[/TEX]

bài giải này sai thì phải bạn xem lại đi
 
S

son9701

nguyenkhacthi said:
Cho 4 số thực dương a,b,c,d . CMR :
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
E lm thế này k bjk có đúng k:
Ta có:
[TEX]P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}[/TEX]
[TEX]=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ac}+\frac{d^2}{db+da}[/TEX]
Áp dụng dạng mở rộng của bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
[TEX]\Rightarrow P\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+2ac+bc+2bd+ad+cd}[/TEX](1)
Mặt khác:
[TEX](a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd[/TEX]
Mà [TEX]a^2+c^2\geq 2ac;b^2+d^2\geq 2bd[/TEX]
[TEX]\Rightarrow (a+b+c+d)^2\geq 2ac+2bd+2ac+2bd+2ab+2bc+2ad+2cd=2(ab+2ac+bc+2bd+ad+cd)[/TEX](2)
Từ (1) và (2) [TEX]\Rightarrow P\geq 2[/TEX]

P/s:Cách này của e khá là "trâu chó".Nếu a chị nào có cách hay hơn thj` cứ post nha
tk
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom