[Toán 10] Hệ thức lượng

[transformers123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Chứng minh

Bài 2:
Cho $\Delta ABC$ không tù, $I$ là trung điểm $BC$. Gọi $P,\ P_1,\ P_2$ lần lượt là chu vi tam giác $ABC,\ ABI,\ ACI$. Chứng minh $\Delta ABC$ vuông cân nếu $P^2=P_1^2+P_2^2$

Bài 3:
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường phân giác trong góc $A$ cắt $BC$ tại $A_1$, cắt $(O)$ tại $A_2$. Các điểm $B_1,\ B_2,\ C_1,\ C_2$ xác định tương tự
a/ Chứng minh $\dfrac{AA_1}{AA_2}+\dfrac{BB_1}{BB_2}+\dfrac{CC_1}{CC_2} \le \dfrac{9}{4}$
b/ Chứng minh bất đẳng thức trên vẫn đúng khi thay giả thiết ba đường phân giác thành ba đường trung tuyến tương ứng
c/ Chứng minh bất đẳng thức trên đổi chiều khi thay giả thuyết ba đường phân giác thành ba đường cao tương ứng

 

[hien_vuthithanh]

Bài 1 : h. Ta có : $sinA+sinB+sinC \le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

CM: $sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA$

$sinA+sinB+sinC=\dfrac{2}{\sqrt{3}}[\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinA+\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinB]+\sqrt{3}[\dfrac{sinA}{\sqrt{3}}+\dfrac{sinB}{\sqrt{3}}cosA]$

$\le (Cauchy) \dfrac{1}{\sqrt{3}}[(sin^2A+\dfrac{3}{4})+(sin^2B+\dfrac{3}{4})]+\dfrac{\sqrt{3}}{2}[(\dfrac{sin^2A}{3}+cos^2B)+(\dfrac{sin^2B}{3}+cos^2A)]=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng :

$ab+bc+ca=4R^2(sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA) \le 4R^2. \dfrac{(sinA+sinB+sinC)^2}{3}\le 4R^2.\dfrac{(\dfrac{3\sqrt{3}}{2})^2}{3}=9R^2$