Toán Toán 10 [ Đại Số ]

[candyhappydn16]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài: Cho a,b [tex]\geq[/tex] 0. Chứng minh
a/ [tex]a^3+b^3\geq a^2b+ab^2[/tex]
b/ [tex]a^4+b^4\geq a^3+ab^3[/tex]
c/ [tex]a^5+b^5\geq a^3b^2+a^2b^3[/tex]
d/ [tex]a^2+2\geq 2\sqrt{a^2+1}[/tex]
e/ [tex]a^3+2\geq a^2+2\sqrt{a}[/tex]
f/ [tex](a+b)(a^2+b^2)(a^3+b^3)\leq 4(a^6+b^6)[/tex]
g/ [tex]\sqrt{a} + \sqrt{b}\leq \sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}[/tex]
h/ [tex](a^3+b^3)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^2[/tex]
i/ [tex]\frac{a+b}{2}\leq \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}[/tex]

 

[David Bill 22]

a/ a^3+b^3 =(a+b)(a^2-ab+b^2) >= (a+b)(2ab-ab)= ......

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

a. [tex]a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\Leftrightarrow a^{2}(a-b)+b^{2}(b-a)\geq 0\Leftrightarrow (a-b)(a^{2}-b^{2})\geq 0\Leftrightarrow(a-b)^{2}(a+b)\geqslant 0\forall a,b\geq 0[/tex]
câu b, c tương tự
d. [tex]a^{2}+2\geq 2\sqrt{a^{2}+1}\Leftrightarrow (a^{2}+1)-2\sqrt{a^{2}+1}+1\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{a^{2}+1}-1)^{2}\geq 0\forall a, b\geq 0[/tex]

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

h. [tex](a^{3}+b^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq (a+b)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{a}+b^{2}\geq a^{2}+2ab+b^{2}\Leftrightarrow ab(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})\geq 2ab\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}\geq 2a^{2}b^{2}\Leftrightarrow (a^{2}-b^{2})^{2}\geq 0, \forall a,b\geq 0[/tex]

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

i. [tex]\frac{a+b}{2}\leq \sqrt[3]{\frac{a^{3}+b^{3}}{2}}\Leftrightarrow \frac{(a+b)^{3}}{8}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}\Leftrightarrow (a+b)^{3}\leq 4a^{3}+4b^{3}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geq a^{2}b+ab^{2}\Leftrightarrow ...[/tex]

 

[David Bill 22]

câu b: áp dụng am-gm , ta có:
a^4+a^4+a^4+b^4>=4a^3.b
a^4+b^4+b^4+b^4>=4a.b^3
=> cộng vào là ra