[toán 10] cực trị

[schoolsmart]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn $x^2+2y^2+5z^2=1$. tìm giá trị lớn nhất

$A=xy+yz+zx$

 

[hthtb22]

BÀI TOÁN HÌNH NHƯ LÀ ĐI TÌM GTNN

Phân tích và lời giải

ta cần đánh giá
$k(x^2+2y^2+5z^2) \le xy+yz+zx$
$\Leftrightarrow (2k+1)(x^2+2y^2+5z^2) \le 2(xy+yz+zx)+x^2+2y^2+5z^2$
$\Leftrightarrow (2k+1)(x^2+2y^2+5z^2) \le (x+y+z)^2+y^2+4z^2$
$\Leftrightarrow (2k+1)x^2 \ge (x+y+z)^2+(-1-4k)y^2+(-1-10k)4z^2$

Thấy $(x+y+z)+(-y)+(-z)=x$ nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy - Swcharzt
Ta nghĩ đến dấu =
$x+y+z=(-1-4k)(-y)=(-1-10k)(-z)$
Suy ra mối quan hệ giữa $x;y;z$ theo k và sửi dụng $x^2+2y^2+5z^2=1$ để tìm k

 

[schoolsmart]

oh

BÀI TOÁN HÌNH NHƯ LÀ ĐI TÌM GTNN

Phân tích và lời giải

ta cần đánh giá
$k(x^2+2y^2+5z^2) \le xy+yz+zx$
$\Leftrightarrow (2k+1)(x^2+2y^2+5z^2) \le 2(xy+yz+zx)+x^2+2y^2+5z^2$
$\Leftrightarrow (2k+1)(x^2+2y^2+5z^2) \le (x+y+z)^2+y^2+4z^2$
$\Leftrightarrow (2k+1)x^2 \ge (x+y+z)^2+(-1-4k)y^2+(-1-10k)4z^2$

Thấy $(x+y+z)+(-y)+(-z)=x$ nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy - Swcharzt
Ta nghĩ đến dấu =
$x+y+z=(-1-4k)(-y)=(-1-10k)(-z)$
Suy ra mối quan hệ giữa $x;y;z$ theo k và sửi dụng $x^2+2y^2+5z^2=1$ để tìm k

bài này tìm giá trị lớn nhất đó bạn
bạn giải sai rồi. cô mình giảng bài này rồi

 

[phuong_july]

bài này tìm giá trị lớn nhất đó bạn
bạn giải sai rồi. cô mình giảng bài này rồi

Bạn có thể up lời giải lên được không?
____________________________________________

 

[viethoang1999]

BÀI TOÁN HÌNH NHƯ LÀ ĐI TÌM GTNN

Phân tích và lời giải

ta cần đánh giá
$k(x^2+2y^2+5z^2) \le xy+yz+zx$
$\Leftrightarrow (2k+1)(x^2+2y^2+5z^2) \le 2(xy+yz+zx)+x^2+2y^2+5z^2$
$\Leftrightarrow (2k+1)(x^2+2y^2+5z^2) \le (x+y+z)^2+y^2+4z^2$
$\Leftrightarrow (2k+1)x^2 \ge (x+y+z)^2+(-1-4k)y^2+(-1-10k)4z^2$

Thấy $(x+y+z)+(-y)+(-z)=x$ nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy - Swcharzt
Ta nghĩ đến dấu =
$x+y+z=(-1-4k)(-y)=(-1-10k)(-z)$
Suy ra mối quan hệ giữa $x;y;z$ theo k và sửi dụng $x^2+2y^2+5z^2=1$ để tìm k

$P=xy+yz+zx$
Ta có: $P(x^2+2y^2+5z^2)=xy+yz+zx$
\Leftrightarrow $5Pz^2-(x+y)z+Px^2-xy+2Py^2=0$
$\Delta =(x+y)^2-20P(Px^2-xy+2Py^2)$\geq $0$
\Leftrightarrow $(20P^2-1)x^2-2(10P+1)xy+(40P^2-1)y^2$\leq $0$
$\Delta '=(10P+1)^2-(20P^2-1)(40P^2-1)$\geq $0$
\Leftrightarrow $P(2P-1)(20P^2+10P+1)$\leq $0$
\Leftrightarrow $0$\leq $P$\leq $\frac{1}{2}$

 

[forum_]

$P=xy+yz+zx$
Ta có: $P(x^2+2y^2+5z^2)=xy+yz+zx$
\Leftrightarrow $5Pz^2-(x+y)z+Px^2-xy+2Py^2=0$
$\Delta =(x+y)^2-20P(Px^2-xy+2Py^2)$\geq $0$
\Leftrightarrow $(20P^2-1)x^2-2(10P+1)xy+(40P^2-1)y^2$\leq $0$
$\Delta '=(10P+1)^2-(20P^2-1)(40P^2-1)$\geq $0$
\Leftrightarrow $P(2P-1)(20P^2+10P+1)$\leq $0$
\Leftrightarrow $0$\leq $P$\leq $\frac{1}{2}$

Làm thế này cho gọn ...

Sử dụng AM-GM:

$1 = \dfrac{2}{3}.x^2 + \dfrac{3}{2}y^2 + \dfrac{1}{2}y^2 + 2z^2+3z^2 + \dfrac{1}{3}.x^2$ \geq 2(xy+yz+zx)

=> A \leq $\dfrac{1}{2}$

 

[forum_]

$P=xy+yz+zx$
Ta có: $P(x^2+2y^2+5z^2)=xy+yz+zx$
\Leftrightarrow $5Pz^2-(x+y)z+Px^2-xy+2Py^2=0$
$\Delta =(x+y)^2-20P(Px^2-xy+2Py^2)$\geq $0$
\Leftrightarrow $(20P^2-1)x^2-2(10P+1)xy+(40P^2-1)y^2$\leq $0$
$\Delta '=(10P+1)^2-(20P^2-1)(40P^2-1)$\geq $0$
\Leftrightarrow $P(2P-1)(20P^2+10P+1)$\leq $0$
\Leftrightarrow $0$\leq $P$\leq $\frac{1}{2}$

BTC:

Đúng, +2đ

==> Cảm ơn bạn đã tham gia event

P/s : kiện tụng gì thì liên hệ demon311 !!!