[Toán 10] Công thức lượng giác

[nhokdangyeu01]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tam giác ABC có 3 góc nhọn

Bài 1: CMR
$r=4Rsin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}$
Bài 2
Tìm min $T=∑tan^2\frac{A}{2}$
Bài 3
Tìm min $P=∑tan A$

 

[buivanbao123]

Bài 1:
Ta có:S=$\dfrac{a+b+c}{2}$.r
S=$\dfrac{abc}{4R}$
\Rightarrow $\dfrac{a+b+c}{2}.r=\dfrac{abc}{4R}$
Mà a=2R.sinA
b=2R.sinB
c=2R.sinC
Thay vô bạn sẽ được hệ thức cần chứng minh

Bài 2:
Trước hết cần chứng minh hệ thức sau
$tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{B}{2}.tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{C}{2}=1$
Mà ta đã biết $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ \geq ab+bc+ca
Dấu = khi a=b=c
Áp dụng:
\Leftrightarrow $T=∑tan^2\dfrac{A}{2}$ \geq 1
Vậy Tmin=1 khi tanA=tanB=tanC \Rightarrow A=B=C

Bài 3:
Cần chứng mình hệ thức:
tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC

Ta có $P=∑tan A$ \geq $3.\sqrt[3]{tanA.tanB.tanC}$

\Rightarrow $P=∑tan A$ \geq $3.\sqrt[3]{tanA+tanB+tanC}$

\Rightarrow P \geq $3\sqrt{3}$
Dấu = xảy ra khi A=B=C

 

[demon311]

$tanC=tan(\pi - A-B) \\
tanC=-tan(A+B)=-\dfrac{ tanA+tanB}{1-tanAtanB} \\
tanC-tanAtanBtanC=-tanA-tanB \\
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC$

 

[buivanbao123]

$\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}$

\Rightarrow $tan(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2})=tan(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2})$

\Rightarrow $\dfrac{tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}}{1-tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}}$=$Cot\dfrac{C}{2}$=$\dfrac{1}{tan\dfrac{C}{2}}$

\Leftrightarrow $tan\dfrac{C}{2}(tan\dfrac{A}{2}+tan$ \Leftrightarrow $\dfrac{B}{2})=1-tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}$

\Rightarrow $tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{B}{2}.tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{C}{2}=1$