[toán 10]chứng minh thẳng hàng

H

huynhbachkhoa23

Gọi $H_A, H_B,H_C$ lần lược là trực tâm của $A'BC, B'CA, C'AB$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Xét $I,J$ là trung điểm $AC'$ và $A'C$, khi đó $\vec{H_CB}=2\vec{IO}$ và $\vec{BH_A}=2\vec{OJ}$ (Cái này áp dụng bài toán $ABC$ có $H$ và $O$ lần lược là trực tâm và tâm ngoại tiếp, $M$ trung điểm $BC$ thì $AH=2OM$)
Khi đó ta có $\vec{H_CH_A}=\vec{H_CB}+\vec{BH_A}=2\vec{IO}+ 2 \vec{OJ}=2\vec{IJ}$
Mà $\vec{IJ}$ cùng phương với $\vec{AA'}$ nên $\vec{H_CH_A}$ cùng phương với $\vec{AA'}$
Từ đó suy ra $H_CH_A||AA'$, tương tự ta có điều phải chứng minh.
 
H

hotien217

hotien217 said:
Cho △ABC. Các đường song song với nhau đi qua 3 đỉnh A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp △ABC tại A', B', C'. Chứng mình rằng 3 trực tâm của △ABC', △AB'C, △A'BC thẳng hàng.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Cách khác:
Gọi $H_1, H_2, H_3$ lần lượt là trực tâm của △ABC', △AB'C, △A'BC. O là tâm đường tròn ngoại tiếp △ABC.
Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} \vec{OH_1}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC'}(1) \\ \vec{OH_2}=\vec{OA}+\vec{OB'}+\vec{OC}(2) \end{array} \\ \vec{OH_3}=\vec{OA'}+\vec{OB}+\vec{OC}(3) \right.$
$(2)-(1):\vec{H_2H_1} = \vec{B'B}+\vec{CC'}=\vec{B'B}(1+m)$(Vì $\vec{B'B}$ cùng phương với $\vec{CC'}$)
$(3)-(2):\vec{H_3H_2} = \vec{B'B}+\vec{AA'}=\vec{B'B}(1+n)$(Vì $\vec{B'B}$ cùng phương với $\vec{AA'}$)
\Rightarrow $\vec{H_2H_1}=\dfrac{1+m}{1+n}.\vec{H_3H_2} $
\Rightarrow $H_1, H_2, H_3$ thẳng hàng.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom