[Toán 10]Chứng minh Bất đẳng thức

[nhanvip2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [TEX]a+b+c=0[/TEX] và [TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=6[/TEX].Tìm Min,Max của:[TEX]{a}^{2}b+{b}^{2}c+{c}^{2}a[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Cho [TEX]a+b+c=0[/TEX] và [TEX]{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}=6[/TEX].Tìm Min,Max của:[TEX]S:={a}^{2}b+{b}^{2}c+{c}^{2}a[/TEX]

[TEX]\(a+b+c\)^2=a^2+b^2+c^2+2\(ab+bc+ca\)\righ \left{ ab+bc+ca=-3\\ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=9[/TEX]

[TEX]\left{S:={a}^{2}b+{b}^{2}c+{c}^{2}a\\ T:= ab^2+bc^2+ca^2[/TEX]

[TEX]\righ \left{S+T=-3r\\S.T:=9r^2-27[/TEX]

Do đó cặp nghiệm [TEX]S[/TEX] của hệ thoải mãn

[TEX]S:=\frac{-3r\pm \sqrt{108-27r^2}}{2}[/TEX]

Do đó để tìm [TEX]Max[/TEX] ta cần tìm [TEX]Max[/TEX] của

[TEX]S:=\frac{-3r+\sqrt{108-27r^2}}{2}:=\frac{-3\sqrt{27}.\frac{1}{\sqrt{27}}r+\sqrt{108-27r^2}}{2}\le \frac{\sqrt{\frac{9}{27}+1}.\sqrt{108}}{2} =6[/TEX]

Do đó để tìm [TEX]Min[/TEX] ta cần tìm [TEX]Min[/TEX] của

[TEX]S:=\frac{-3r- \sqrt{108-27r^2}}{2} \ge -6[/TEX]

Do đó ta có:

[TEX]\ \ -6_{r=1}\le S\le 6_{r=-1}[/TEX]

 

[kimxakiem2507]

[TEX]\left{a+b+c =m \\a^2+b^2+c^2=n^2\\ 3n^2\ge m^2[/TEX]

Lúc đó hãy tìm [TEX]GTLN,GTNN[/TEX] của [TEX]H=a^2b+b^2c+c^2a[/TEX][/QUOTE]Đễ dễ việc dùng bất đẳng thức ta chuẩn hóa về [TEX]0[/TEX] cho tiện .

[TEX]\tex{ Chung ta dat :}\left{a= x+\frac{m}{3} \\b=y+\frac{m}{3}\\ c=z+\frac{m}{3} [/TEX]
[TEX]\rightarrow\left{ \sum_{cyclic} x=0 \\ \sum_{cyclic}x^2=\frac{3n^2-m^2}{3}\\ \sum_{cyclic}\(xy\) =-\frac{3n^2-m^2}{6}\\H=x^2y+y^2z+z^2x+\frac{m^3}{9}[/TEX]

[TEX]\righ\left{S=x^2y+y^2z+z^2x\\ T=xy^2+yz^2+zx^2 [/TEX]

[TEX]\tex{ Ta lai co :}\left{S+T=\sum_{cyclci} xy\(x+y\)=\(\sum_{cyclci}x\)\(\sum_{cyclci}xy\)-3xyz=-3r\\S.T=\(\sum_{cyclci}xy\)^3+xyz\(\sum_{cyclci}x \).\[\(\sum_{cyclci}x\)^2-6\sum_{cyclci}xy\]+9x^2y^2z^2= \(-\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3+9r^2[/TEX]



[TEX]\rightarrow{S= \frac{-3r\pm\sqrt{4 \(\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3-27r^2}}{2}[/TEX]

Muốn tìm [TEX]max[/TEX] ta tìm trên

[TEX]S= \frac{-3r+\sqrt{4 \(\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3-27r^2}}{2}= \frac{-3\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{27}}r+\sqrt{4 \(\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3-27r^2}}{2} \le \frac{\sqrt{\frac{9}{27}+1}\sqrt{4 \(\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3}}{2}[/TEX]

Muốn tìm [TEX]min[/TEX] ta tìm trên

[TEX]S= \frac{-3r-\sqrt{4 \(\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3-27r^2}}{2}= \frac{-3\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{27}}r-\sqrt{4 \(\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3-27r^2}}{2} \ge -\frac{\sqrt{\frac{9}{27}+1}\sqrt{4 \(\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3}}{2}[/TEX]

Do đó tổng quát thì ta có :

[TEX] -\frac{\sqrt{\frac{9}{27}+1}\sqrt{4 \(\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3}}{2}+\frac{m^3}{9} \le H \le \frac{\sqrt{\frac{9}{27}+1}\sqrt{4 \(\frac{3n^2-m^2}{6}\)^3}}{2}+\frac{m^3}{9} [/TEX]

[TEX]\red Note:\ \ \sum_{cyclic} \(\sqrt{b}x-bxy-1\)^2 \ge 0[/TEX]

Lúc đẳng thức xảy ra thì ta có điều kiện cần là :

[TEX]\left{\sqrt{b} x-b xy-1=0 \\ \sqrt{b}y- byz-1=0 \\ \sqrt{b}z- bzx-1=0 [/TEX]

[TEX]\righ \sqrt{b}\(x+y+z\)-b\(xy+yz+zx\) =3[/TEX]

[TEX]\righ b=-\frac{3}{xy+yz+zx}=\frac{18}{3n^2-m^2} [/TEX]

Vậy bài toán trên đơn giản là đi từ hằng đẳng thức :

[TEX]\huge \blue \sum_{cyclic} \(\sqrt{\frac{18}{3n^2-m^2}} x-\frac{18}{3n^2-m^2} xy-1\)^2\ge 0[/TEX]