[Toán 10]c/m bdt

[hien_vuthithanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 t/m $a^2+b^2+c^2$=3
c/m :$a\sqrt{b^3+1}+b\sqrt{c^3+1}+c\sqrt{a^3+1}$\leq 5

 

[chaizo1234567]

bạn

bạn ơi bạn có thể xem lại đièu kiện không
theo minh dk phải là
$a^2+b^2+c^2=3$
..................

 

[eye_smile]

$a\sqrt{b^3+1}=a\sqrt{(b+1)(b^2-b+1)} \le \dfrac{a(b+1+b^2-b+1)}{2}=\dfrac{a(b^2+2)}{2}$

Tương tự \Rightarrow BĐT \Leftrightarrow $a(b^2+2)+b(c^2+2)+c(a^2+2) \le 10$

\Leftrightarrow $ab^2+bc^2+ca^2+2(a+b+c) \le 10$

Có: $(a+b+c)^2 \le 3(a^2+b^2+c^2)=9$

\Rightarrow $2(a+b+c) \le 6$

Cần cm:

$ab^2+bc^2+ca^2 \le 4$

Ta có:

$ab^2+bc^2+ca^2<ab^2+bc^2+ca^2+abc=a(b+c)^2+c(c-a)(b-a)$

Giả sử $b \le a \le c$ thì $ab^2+bc^2+ca^2 < a(b+c)^2 \le 4$

\Rightarrow đpcm

Dấu "=" không xảy ra thì phải.Nếu ĐK là số không âm thì có dấu =

Mà $a+b+c=3$ với lại $a^2+b^2+c^2=3$ trong bài này không khác gì nhau