Toán 10: BĐT

[lalinhtrang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm min:
A=$\dfrac{(x+y+1)^2}{xy+x+y}$+$\dfrac{xy+x+y}{(x+y+1)^2}$
2. Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt
Cm $\dfrac{a^2}{(b-c)^2}$+$\dfrac{b^2}{(c-a)^2}$+$\dfrac{c^2}{(a-b)^2}$\geq2
3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+b+c\leq3.
Cm $\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}$+$\dfrac{2009}{ab+bc+ac}$\geq 670
4. Cho a, b, c dương thỏa mãn a+b+c\leq2
Cm $\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}$+$\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}$+$\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}$\geq$\dfrac{\sqrt{97}}{2}$
5. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 6.
Cm 3($a^2+b^2+c^2$)+2abc\geq52
6. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 2.
Tìm min P=4($a^3+b^3+c^3$)+15abc
7. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 1
Cm $\dfrac{2}{9}$\leq$a^3+b^3+c^3$+3abc<$\dfrac{1}{4}$
8. Cho x, y, z dương thỏa mãn x+y+z=6.
Cm $x^2+y^2+z^2$-xy-yz-zx+xyz\geq8
9. Cho a\geq1324; b\geq1342. Cm $a^2$+$b^2$+ab\geq2013(a+b). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
10. Cho a, b, c dương thỏa mãn a+b+c=1.
Cm $\dfrac{ab}{c+1}$+$\dfrac{bc}{a+1}$+$\dfrac{ca}{b+1}$\leq$\dfrac{1}{4}$
11. Cho a, b là các số thực dương
Cm $(a+b)^2$+$\dfrac{a+b}{2}$\geq2a$\sqrt{b}$+2b$\sqrt{a}$

 

[transformers123]

Bài 4:

Hình như $a+b+c \le 2$ chứ

$\sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \sqrt{(\sum a)^2+ (\sum \dfrac{1}{a})^2}$

$\iff \sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \sqrt{(\sum a)^2+\dfrac{9^2}{(\sum a)^2}}$

$\iff \sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \sqrt{(\sum a)^2+\dfrac{16}{(\sum
a)^2}+\dfrac{65}{(\sum a)^2}}$

$\iff \sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \sqrt{2\sqrt{(\sum a)^2.\dfrac{16}{(\sum a)^2}}+\dfrac{65}{2^2}}$

$\iff \sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \dfrac{\sqrt{97}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{2}{3}$

 

[vipboycodon]

5. Cách 1: $3(a^2+b^2+c^2)+2abc \ge 52$

$\leftrightarrow 3[a^2+(b+c)^2-2bc]+2abc \ge 52$

$\leftrightarrow 3[a^2+(6-a)^2-2bc]+2abc \ge 52$

$\leftrightarrow (a-3)bc+3a^2-18a+28 \ge 0$ (*)

Đặt $u = bc$. Khi đó $0 < u \le \dfrac{(b+c)^2}{4} = \dfrac{(6-a)^2}{4}$.

Để chứng minh (*) ta phải chứng minh:

$f(u) = (a-3)u+3a^2-18a+28 \ge 0$ , \forall $u \in \left(0;\dfrac{(6-a)^2}{4}\right]$

ta xem $f(u)$ là hàm số bậc nhất theo biến $u$ , khi đó đồ thị của $f(u)$ là 1 đường thẳng với $u \in \left(0;\dfrac{(6-a)^2}{4}\right]$.

Do đó: $f(u) \ge \min \left\{f(0),f\left(\dfrac{(6-a)^2}{4}\right) \right\}$

Ta có: $f(0) = 3a^2-18a+28 = 3(a-3)^2+1 \ge 0 \ (1)$

$f(\dfrac{(6-a)^2}{4} = (a-3)\dfrac{(6-a)^2}{4}+3a^2-18a+28 = \dfrac{1}{4}(a-2)^2(a+1) \ge 0 \ (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $\min \left\{f(0),f\left(\dfrac{(6-a)^2}{4}\right) \right\} \ge 0$ , do đó $f(u) \ge 0$ , suy ra đpcm.


Cách 2: Xét biểu thức $f(a,b,c) = 3(a^2+b^2+c^3)+2abc$

và $f\left(a,\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2}\right) = 3\left(a^2+\dfrac{(b+c)^2}{2}\right)+\dfrac{a(b+c)^2}{2}$

Xét hiệu $d = f(a,b,c)-f\left(a,\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2}\right) = \dfrac{1}{2}(b-c)^2(3-a)$

Ta có: $6 = a+b+c > 2a \leftrightarrow a < 3 \rightarrow d \ge 0 \rightarrow f(a,b,c) \ge f\left(a,\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2}\right)$

Ta sẽ chứng minh $f\left(a,\dfrac{b+c}{2},\dfrac{b+c}{2}\right) \ge 52$

Đặt $t = \dfrac{b+c}{2} (0 < t < 3)$ ta sẽ chứng minh $f(6-2t,t,t) \ge 52$

Ta có: $f(6-2t,t,t) = 3[(6-2t)^2+2t^2]+2(6-2t)t^2 \ge 52 \leftrightarrow (t-2)^2(2t-7) \le 0$ (đúng)

Vậy $f(a,b,c) \ge 52$

 

[soccan]

$11))\\
VP=2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b}) \le 2(a+b).\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2} \le (a+b)^2+\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{4} \le (a+b)^2+\dfrac{a+b}{2}=VT$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 5. Mở rộng cho các số thực dương $a,b,c$
Giả sử $a\ge b\ge c$. Nếu $a\ge b+c$ thì $2a\ge a+b+c$ nên $a\ge 3$
Ta có $3(a^2+b^2+c^2)+2abc=3(a^2+(b+c)^2)+2bc(a-3)\ge 3(a^2+(b+c)^2)\ge \dfrac{3(a+b+c)^2}{2}=54>52$
Nếu $a\le b+c$ thì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Khi đó áp dụng AM-GM, ta có:$(3-a)(3-b)(3-c)\le \dfrac{(9-a-b-c)^3}{27}=1$
Khai triển ra ta được: $3(a^2+b^2+c^2)+2abc\ge 52$
Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 6. Xét bất đẳng thức $abc\ge (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$, khai triển ra và biến đổi, ta được:
$4(a^3+b^3+c^3)+15abc\ge (a+b+c)^3=8$

 

[hien_vuthithanh]

3.

$$ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2=3$$

$$\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2009}{ab+bc+ca}= \dfrac{1}{a^2+b^2+c^2} +\dfrac{4}{2(ab+bc+ca)}+\dfrac{2007}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{(1+2)^2}{(a+b+c)^2}+\dfrac{2007}{3}\ge \dfrac{9}{3^2}+669=670$$

 

[hien_vuthithanh]

2. Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt
Cm $\dfrac{a^2}{(b-c)^2}$+$\dfrac{b^2}{(c-a)^2}$+$\dfrac{c^2}{(a-b)^2}$\geq2

Đặt $$x=\dfrac{a}{b-c} ; y=\dfrac{b}{c-a} ;z=\dfrac{c}{a-b}$$

$$\rightarrow (x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)$$
$$\rightarrow xy+yz+zx=-1$$

Có : $$(x+y+z)^2 \ge 0 \leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \ge -2(xy+yz+zx) =-2.(-1)=2$$
$$\rightarrow x^2+y^2+z^2 \ge 2$$

$\rightarrow$ BĐT được cm.

 

[lalinhtrang]

Mình vẫn chưa hiểu bài 4. Ai có thể giúp mình không?

 

[hien_vuthithanh]

Bài 4:

Hình như $a+b+c \le 2$ chứ

$\sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \sqrt{(\sum a)^2+ (\sum \dfrac{1}{a})^2}$

$\iff \sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \sqrt{(\sum a)^2+\dfrac{9^2}{(\sum a)^2}}$

$\iff \sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \sqrt{(\sum a)^2+\dfrac{16}{(\sum
a)^2}+\dfrac{65}{(\sum a)^2}}$

$\iff \sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \sqrt{2\sqrt{(\sum a)^2.\dfrac{16}{(\sum a)^2}}+\dfrac{65}{2^2}}$

$\iff \sum \sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}} \ge \dfrac{\sqrt{97}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{2}{3}$

Bài 4 này có chỗ nào chưa hiểu thế bạn ?

Đoạn đầu là dùng BĐT Mincốpki : $\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}+\sqrt{c^2+z^2} \ge \sqrt{(a+b+c)^2+(x+y+z)^2}.$

Đoạn sau là tách theo dấu = xảy ra thôi .

 

[lalinhtrang]

http://*****************/present/show/entry_id/7722135
Bài 4 ở đây mình làm theo bài 37 (trang 9 và 10)trong link này. Nhưng đến đoạn cộng các vế lại với nhau thì mình làm không ra đáp số và k sử dụng đến x+y+z\leq2. Ai làm giúp mình đoạn sau này. Cảm ơn