Tóan 10-Bất đẳng thức.

[sieuthamtu_sieudaochit]

Cho x,y,z\geq0 thoả mãn [TEX]x^2+y^2+z^2=2[/TEX]
CMR: x+y+z\leqxyz+2
Các vip làm đi nhé

Ta có: [TEX]x+y+z-xyz=x+y+z(1-xy)\leq \sqrt{((x+y)^2+z^2)(1+(1-xy)^2)}[/TEX]
[TEX]=\sqrt{(2+2xy)(2-2xy+x^2y^2)}[/TEX]
Ta cần chứng minh:
[TEX](2+2xy)(2-2xy+x^2y^2)\leq 4[/TEX]
[TEX]<=>(1+xy)(2-2xy+x^2y^2)\leq 2[/TEX]
[TEX]<=>2+2xy+x^2y^2+2xy-2x^2y^2+x^3y^3\leq 2[/TEX]
[TEX]<=>x^2y^2(xy-1)\leq 0[/TEX]
BDT này đúng do: [TEX]2=x^2+y^2+z^2\geq x^2+y^2\geq 2xy[/TEX]
[TEX]=>1\geq xy[/TEX]
[TEX]=>dpcm[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số x,y,z có 2 số bằng 1 và một số bằng không

Ông lấy từ THTT ra đấy mà. Bài giải này trên là cuả thấy Nam Dũng.
[TEX]IMO Short list-1987[/TEX] do Ba Lan đề nghị.
Đặt [TEX]p=x+y+z, r=xyz[/TEX]
Ta chứng minh [TEX]p \le r+2 \Leftrightarrow A= 4-(p-r)^2 \ge 0[/TEX]
Theo giả thiết ta cóa [TEX]x^2+y^2+z^2=2 (1)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 4A=2^3-2^2(p^2-2)+2(4pr)-4r^2[/TEX]
[TEX](2-2xy)(2-2yz)(2-zx) +4r^2 \ge 0[/TEX]
Đúng do [TEX](1)[/TEX]