[Toán 10] Bất đẳng thức

F

forum_

Lời giải trên THTT tháng 1/2015

Đề thiếu a,b $\in$ (0;1) chị ! :(

Do a,b $\in$ (0;1) nên tồn tại 2 góc nhọn x,y sao cho a = cosx ; b=cosy

Gt \Leftrightarrow $cos^2x+cos^2y=sinx.cosy+siny.cosx=sin(x+y)$ (1)

P = $8.tan^2\dfrac{x}{2}+9.tan\dfrac{y}{2}$ .

Có : $x+y=\dfrac{pi}{2}$ (vì chứng minh phản chứng giả sử > hoặc < đều không đúng)

Suy ra $P=8.tan^2.\dfrac{x}{2}$+9tan($\dfrac{pi}{4}-\dfrac{x}{2}$)

= $8.tan^2.\dfrac{x}{2}+\dfrac{9(1-tan.\dfrac{x}{2})}{1+tan.\dfrac{x}{2}}$

Đặt t = $tan.\dfrac{x}{2}$

\Rightarrow t $\in$ (0;1), ta có

P = $8t^2+\dfrac{9(1-t)}{1+t}$ = f(t)

Xét hàm số f(t) với t $\in$ (0;1) ta có:

f'(t) = ...... Suy ra f'(t) = 0 \Leftrightarrow t=1/2

Lập bảng biến thiên ta có :

f(t) \geq f(1/2) = 5 \Rightarrow P \geq 5

Dấu = xảy ra khi $tan\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}$ \Rightarrow $a=cosx=\dfrac{3}{5}$ , $b=cosy = sinx=\dfrac{4}{5}$

Vậy min P=5
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom