[Toán 10] Bất đẳng thức

N

nguyenhoangquanx

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
7≥(a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)≥1

Ban thu dung phuong phap don bien de chung minh chua ?
 
H

huynhbachkhoa23

nguyenhoangquanx said:
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:
7≥(a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)≥1

Ban thu dung phuong phap don bien de chung minh chua ?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Dồn biến thì chỉ cho vế đầu, vế sau dồn biến hơi dài. Mà xin báo trước, giải bài cho mọi người xem chứ không phải nói khơi khơi thế. Lần sau sẽ xóa bài.
 
N

nguyenhoangquanx

Minh that su xin loi ! Minh moi vao dien dan "Hoc mai " lan dau nen chua quen voi cac ki hieu toan hoc . Lan sau minh se nghiem khac rut kinh nghiem.
 
N

nguyenhoangquanx

Mình có cách này bạn thử xem xem có được không:
Đặt P=(a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)
logarit cơ số e 2 vế biểu thức trên được :
lnP=ln(a2−a+1)+ln(b2−b+1)+ln(c2−c+1)
a,b,c thuộc (0,3)
Sử dụng phương pháp đồ thị :
*Chứng minh vế phải:
Cần tìm m,n sao cho đồ thị hàm số dạng y=mx+n nằm phía dưới và tiếp xúc với đồ thị hàm số y=ln(x2−x+1) tại điểm có hoành độ x=1(vị trí dấu bằng xảy ra)
ta có điều kiện cần là hệ pt:
ln(x2−x+1)=mx+n
và (2x-1)/(x2-x+1)=m , có một nghiệm x=1
suy ra m=1 và n=-1
ta chứng minh : ln(x2−x+1)>=x-1 với x thuộc (0,3) (cai nay chac ban chung minh duoc)
từ đó suy ra:
lnP=ln(a2−a+1)+ln(b2−b+1)+ln(c2−c+1)>=a+b+c-3=3-3+0
do đó P >=1 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
*Vế trái xảy ra dấu bằng khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 3 nhưng a,b,c dương nên ko thể bằng 0 , mình phân vân chỗ này.
 
H

huynhbachkhoa23

nguyenhoangquanx said:
Mình có cách này bạn thử xem xem có được không:
Đặt P=(a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)
logarit cơ số e 2 vế biểu thức trên được :
lnP=ln(a2−a+1)+ln(b2−b+1)+ln(c2−c+1)
a,b,c thuộc (0,3)
Sử dụng phương pháp đồ thị :
*Chứng minh vế phải:
Cần tìm m,n sao cho đồ thị hàm số dạng y=mx+n nằm phía dưới và tiếp xúc với đồ thị hàm số y=ln(x2−x+1) tại điểm có hoành độ x=1(vị trí dấu bằng xảy ra)
ta có điều kiện cần là hệ pt:
ln(x2−x+1)=mx+n
và (2x-1)/(x2-x+1)=m , có một nghiệm x=1
suy ra m=1 và n=-1
ta chứng minh : ln(x2−x+1)>=x-1 với x thuộc (0,3) (cai nay chac ban chung minh duoc)
từ đó suy ra:
lnP=ln(a2−a+1)+ln(b2−b+1)+ln(c2−c+1)>=a+b+c-3=3-3+0
do đó P >=1 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
*Vế trái xảy ra dấu bằng khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 3 nhưng a,b,c dương nên ko thể bằng 0 , mình phân vân chỗ này.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Dấu bằng lúc đó là $b,c\to 0, a\to 3$ và các hoán vị. Dùng giới hạn sẽ không có vấn đề gì. Còn đối với lớp 10, vế bên phải chỉ cần dùng Cauchy-Schwarz là đủ, không cần dùng Hyb.

BDT này vẫn sai với $x=\dfrac{14}{5}$
 
Last edited by a moderator:
H

huynhbachkhoa23

Chứng minh $(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1) \ge 1$
Giả sử $c=\text{min}\{a,b,c\}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$(a^2-a+1)(b^2-b+1)=\left[\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\right]\left[\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\right]+\dfrac{1}{2}\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2} \ge \dfrac{(a+b-1)^2}{2}+\dfrac{1}{2}$
Do đó ta chỉ cần việc chứng minh:
$(c^2-c+1)\left[(a+b-1)^2+1\right] \ge 2 \leftrightarrow (c^2-c+1)(c^2-4c+5)\ge 2 \leftrightarrow (c-1)^2\left[(c-2)^2+1\right]+(c-1)(c-3)\ge 0$
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Thực tế BDT cuối tương đương với $(c-1)^2(c^2-3c+3)\ge 0$ nhưng phân tích đến thế này dài dòng hơn nhiều so với phân tích thành tổng 2 đạiluongjww yếu như trên. Với phân tích trên thì ta chỉ cần thêm bới đại lượng $-c$ vào $c^2-c+1$ là đủ.
 
Last edited by a moderator:
N

nguyenhoangquanx

Dấu bằng lúc đó là b,c→0,a→3 và các hoán vị. Dùng giới hạn sẽ không có vấn đề gì. Còn đối với lớp 10, vế bên phải chỉ cần dùng Cauchy-Schwarz là đủ, không cần dùng Hyb.

Bạn nói rõ hơn cách dùng giới hạn được không ?
 
H

huynhbachkhoa23

nguyenhoangquanx said:
Dấu bằng lúc đó là b,c→0,a→3 và các hoán vị. Dùng giới hạn sẽ không có vấn đề gì. Còn đối với lớp 10, vế bên phải chỉ cần dùng Cauchy-Schwarz là đủ, không cần dùng Hyb.

Bạn nói rõ hơn cách dùng giới hạn được không ?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Nếu $b,c$ không thể bằng $0$ nên ta chuyển qua giới hạn $b=c\to 0^{+}$ sẽ hợp lệ hơn.
Cái này chỉ là dùng giới hạn giải quyết vấn đề về điểm rơi thôi.
 
N

nguyenhoangquanx

Chứng minh (a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)≥1
Giả sử c=min{a,b,c}
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
(a2−a+1)(b2−b+1)=[(a−12)2+14][(b−12)2+14]+12(a−12)2+12(b−12)2+12≥(a+b−1)22+12
Do đó ta chỉ cần việc chứng minh:
(c2−c+1)[(a+b−1)2+1]≥2↔(c2−c+1)(c2−4c+5)≥2↔(c−1)2[(c−2)2+1]+(c−1)(c−3)≥0
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Thực tế BDT cuối tương đương với (c−1)2(c2−3c+3)≥0 nhưng phân tích đến thế này dài dòng hơn nhiều so với phân tích thành tổng 2 đạiluongjww yếu như trên. Với phân tích trên thì ta chỉ cần thêm bới đại lượng −c vào c2−c+1 là đủ.

Hình như trong cách giải của bạn : (c−1)2(c2−3c+3)≥0 là (c-1)(c-2)(c2−3c+3)≥0 mới đúng?
 
H

huynhbachkhoa23

nguyenhoangquanx said:
Chứng minh (a2−a+1)(b2−b+1)(c2−c+1)≥1
Giả sử c=min{a,b,c}
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
(a2−a+1)(b2−b+1)=[(a−12)2+14][(b−12)2+14]+12(a−12)2+12(b−12)2+12≥(a+b−1)22+12
Do đó ta chỉ cần việc chứng minh:
(c2−c+1)[(a+b−1)2+1]≥2↔(c2−c+1)(c2−4c+5)≥2↔(c−1)2[(c−2)2+1]+(c−1)(c−3)≥0
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Thực tế BDT cuối tương đương với (c−1)2(c2−3c+3)≥0 nhưng phân tích đến thế này dài dòng hơn nhiều so với phân tích thành tổng 2 đạiluongjww yếu như trên. Với phân tích trên thì ta chỉ cần thêm bới đại lượng −c vào c2−c+1 là đủ.

Hình như trong cách giải của bạn : (c−1)2(c2−3c+3)≥0 là (c-1)(c-2)(c2−3c+3)≥0 mới đúng?
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bạn phân tích lại đi, mới đây mình lên wolfrâmlpha kiểm tra lại đúng này :)|
http://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+(x^2-x+1)(x^2-4x+5)+-2
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom