[Toán 10] Bất đẳng thức

[zezo_flyer]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng:

[TEX]\frac{(b+c+2a)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(a+c+2b)^2}{2b^2+(a+c)^2}+\frac{(a+b+2c)^2}{2c^2+(b+a)^2} \leq 8[/TEX]

 

[demon311]

Thay a=b=c=1 thì sai
Sửa lại đề đi bạn..............................

 

[braga]

$a=b=c=1$ chính là dấu bằng xảy ra!!1
Ta chuẩn hóa $a+b+c=3$. BĐT tương đương với:
$$\dfrac{(3+a)^2}{2a^2+(3-a)^2}+\dfrac{(3+b)^2}{2b^2+(3-b)^2}+\dfrac{(3+c)^2}{2c^2+(3-c)^2}\le 8$$
Nhận thấy với $a+b+c=3$, ta cần tìm 1 hệ số $k$ sao cho:
$$\dfrac{(3+a)^2}{2a^2+(3-a)^2}\le \dfrac{8}{3}+k(a-1)$$
Khi đó:
$$VT\le 8+k(a+b+c-3)=8$$
Để ý, ta thấy:
$$\dfrac{3(3+a)^2}{2a^2+(3-a)^2}=\dfrac{a^2+6a+9}{a^2-2a+3}=1+\dfrac{8a+6}{(a-1)^2+2}\le 1+\dfrac{8a+6}{2}=4a+4$$
Vậy $k=\dfrac{4}{3}$ là hệ số cần tìm. $\blacksquare$