[Toán 10] Bất đẳng thức

[tensa_zangetsu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của $A=\dfrac{x+2y+1}{x^2+y^2+7}$ với $x,y \in R$ bằng phương pháp dùng tam thức bậc 2.

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky bằng phương pháp dấu tam thức bậc 2.

$(\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i)^2 \le (\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2)(\sum\limits_{i=1}^{n}b_i^2)$

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp vector:

$\sqrt{a^2+x^2-2ax.\cos \alpha}+\sqrt{b^2+x^2-2bx .\cos \beta} \ge \sqrt{a^2+b^2-2ab.\cos(\alpha + \beta)}$

Bài 4: Bằng phương pháp dấu tam thức bậc 2 chứng minh:

Mọi $\Delta ABC$ và mọi số $x,y,z$, ta luôn có:

$x^2+y^2+z^2 \ge 2xy.\cos C + 2yz.\cos A + 2zx.\cos B$

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Trích: Sách bất đẳng thức của thầy (thất lạc nhãn hiệu =))).

P/s: Phương pháp dùng tam thức bậc 2 và dấu tam thức bậc 2 là khác nhau nhé

 

[buivanbao123]

Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức Bunyakovsky bằng phương pháp dấu tam thức bậc 2.

Xét đa thức: f(x)=$(a_{1}x-b_{1})^{2})$+$(a_{2}x-b_{2})^{2})$+..........+$(a_{n}x-b_{n})^{2})$ \geq 0 với mọi x thuộc R
\Leftrightarrow f(x)=$(a_{1}^{2}+..........+a_{n}^{2})x^{2}-2(a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+.......+a_{n}.b_{n}x)+(b_{1}^{2}+....+b_{n}^{2})$ \geq 0 với mọi x thuộc R

\Leftrightarrow $$ \left\{\begin{matrix} a=a_{1}^{2}+...+a_{n}^{2}>0\\\Delta'=(a_{1}.b_{1}+....+a_{n}.b_{n})^{2}-(a_{1}^{2}+....+a_{n}^{2}.(b_{1}^{2}+...+b_{n}^{2} ) <= 0 \end{matrix}\right.$$

\Leftrightarrow $(a_{1}.b_{1}+....+a_{n}.b_{n})^{2}$ \leq $(a_{1}^{2}+....+a_{n}^{2}).(b_{1}^{2}+....+b_{n}^{2})$

Khi f(x)=0 \Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}
a_{1}x-b_{1}=0 & & & \\
a_{2}x-b_{2}=0 & & & \\
............. & & & \\
a_{n}x-b_{n}=0 & & &
\end{matrix}\right.$ \Leftrightarrow $\dfrac{b_{1}}{a_{1}}$=$\dfrac{b_{2}}{a_{2}}$=....=$\dfrac{b_{n}}{a_{n}}$ (=x)
Mỏi hết cả tay

 

[shurin.ken]

Bài 3:
xét tam giác ABC với (vt)AB = (vt)x; (vt)BC = (vt)a; (vt)ac = (vt)b
Góc B là anpha; A là beta
AD định lý hàm số cos với các cạnh là ra bạn ak!

 

[huynhbachkhoa23]

Câu 1: Câu này em cũng mới làm ra cách đây vài ngày mang tính tham khảo

Từ đề suy ra: $Ax^2-x+Ay^2-2y+7A-1=0$

$\Delta = 1-4A(Ay^2-2y+7A-1)=-4A^2y^2+8Ay-28A^2+4A+1 \ge 0$

Xét $A=0:$...

Xét $A\ne 0$: Thế $y=\dfrac{1}{A}$ (Coi $\Delta$ là một $Parabol$ theo $y$ và thế $y$ là toạ độ đỉnh $Parabol$)

$\Delta = -28A^2+4A+5 \ge 0$

Suy ra $\dfrac{-5}{14}\le A \le \dfrac{1}{2}$