[Toán 10] Bất Đẳng thức "khó"?!?

[shyhaeky_1111]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc=1. CMR:
[TEX]\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\frac{c+a}{\sqrt{b}}+\frac{a+b}{\sqrt{c}}[/TEX] \geq[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+3[/TEX]
2.CMR nếu PT [TEX]x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0[/TEX]có ít nhất 1 nghiêm thực thì [TEX]a^2+b^2\geq8[/TEX]
3. Với a,b,c >0 và a+b+c=1 thì [TEX]5(a^2+b^2+c^2) \leq 6(a^3+b^3+c^3)+1[/TEX]
Tạm thời là 3 bài đã, bạn nào làm đc thì vui vòng làm kĩ ra nha, làm xong mình se~ post típ nha.

 

[0915549009]

3. Với a,b,c >0 và a+b+c=1 thì [TEX]5(a^2+b^2+c^2) \leq 6(a^3+b^3+c^3)+1[/TEX]

[TEX]p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc[/TEX]
[TEX]BDT\Leftrightarrow 5(p^2-2q) \leq 6(p^3-3pq+3r)+1\Leftrightarrow 5-10q \leq 6-18q+18r+1[/TEX]
[TEX]18r \geq 8q-2 \Rightarrow 6-18q+18r+1 \geq 5-10q \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[bigbang195]

làm tương tự với

thì ta đươc

p/s mình làm hơi dài , thông cảm

 

[shyhaeky_1111]

Thanks Bigbang nhaz, còn bài 2 nữa, có ai làm ko, tớ post thêm 3 bài nè
1. Với a,b,c \geq 0. CMR:[TEX]\sqrt{a^4+a^2.b^2+b^4}+\sqrt{b^4+b^2.c^2+c^4}+ \sqrt{c^4+c^2.a^2+a^4} \geq a.\sqrt{2a^2+bc}+b.\sqrt{2b^2+ca}+c.\sqrt{2c^2+ab}[/TEX]
2. Với a,b,c là các số thực dương thoả abc=2. CM:[TEX]a^3+b^3+c^3 \geq a.\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}[/TEX]
3. Cho [TEX]a,b,c \in (1,2) [/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{b.\sqrt{a}}{4b.\sqrt{c}-c.\sqrt{a}}+\frac{c.\sqrt{b}}{4c.\sqrt{a}-a.\sqrt{b}}+\frac{a.\sqrt{c}}{4a.\sqrt{b}-b.\sqrt{c}}\geq 1[/TEX]

 

[duynhan1]

Thanks Bigbang nhaz, còn bài 2 nữa, có ai làm ko, tớ post thêm 3 bài nè
1. Với a,b,c \geq 0. CMR:[TEX]\sqrt{a^4+a^2.b^2+b^4}+\sqrt{b^4+b^2.c^2+c^4}+\sqrt{c^4+c^2.a^2+a^4} \geq a.\sqrt{2a^2+bc}+b.\sqrt{2b^2+ca}+c.\sqrt{2c^2+ab}[/TEX]

[TEX]\sqrt{a^4+a^2.b^2+b^4} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} (a^2+b^2) [/TEX]

[TEX] a.\sqrt{2a^2+bc} \le \frac{1}{2\sqrt{3}}. 2.\sqrt{3}a.\sqrt{2a^2+bc} \le (3a^2 + 2a^2 + bc) [/TEX]

Tương tự cho các số còn lại và để ý [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca[/TEX]

 

[duynhan1]

Thanks Bigbang nhaz, còn bài 2 nữa, có ai làm ko, tớ post thêm 3 bài nè
1. Với a,b,c \geq 0. CMR:[TEX]\sqrt{a^4+a^2.b^2+b^4}+\sqrt{b^4+b^2.c^2+c^4}+\sqrt{c^4+c^2.a^2+a^4} \geq a.\sqrt{2a^2+bc}+b.\sqrt{2b^2+ca}+c.\sqrt{2c^2+ab}[/TEX]
2. Với a,b,c là các số thực dương thoả abc=2. CM:[TEX]a^3+b^3+c^3 \geq a.\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}[/TEX]
3. Cho [TEX]a,b,c \in (1,2) [/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{b.\sqrt{a}}{4b.\sqrt{c}-c.\sqrt{a}}+\frac{c.\sqrt{b}}{4c.\sqrt{a}-a.\sqrt{b}}+\frac{a.\sqrt{c}}{4a.\sqrt{b}-b.\sqrt{c}}\geq 1[/TEX]

[TEX]VP \le \sqrt{2(a^2 + b^2 +c^2)(a+b+c)} \le \sqrt{6 (a^3+b^3+c^3) } [/TEX]

Cần chứng minh:
[TEX]\sqrt{a^3+b^3+c^3} \ge \sqrt{6} [/TEX]

Mà điều đó luôn đúng do :

[TEX]a^3 + b^3 + c^3 \ge 3abc = 6[/TEX]

 

[shyhaeky_1111]

Anh duynhan làm khó hiểu quá, anh làm kĩ hơn được k, cả 2 bài đó, tks anh nhìu nhen

 

[letrang3003]

[TEX]a^3 + b^3 \ge a^2b + ab^2 [/TEX]

Tương tự : ..............

Và [TEX]a^2 b + a^2 c \ge 2a.\sqrt{b+c}[/TEX]

Bất đẳng thức ở dưới anh bị sai :

Áp dụng Cauchy-schwarz cho vế phải ta được :

do đó ta cần chứng minh :

mà

nên ta BDT được viết lại là :

P/S: bài cuối cậu đừng để ý đến cái (1,2) nó là chỉ là điều kiện để mẫu dương. còn cách làm thì vẫn nhân với

rồi Cauchy-Schwarz.

 

[ngoxuanquy]

dùng cosi.vì abc=1
[TEX]b+c\geq2\sqrt[2]{b+c}[/TEX]\Rightarrow[TEX]\frac{b+c}{a}\geq2\sqrt[2]{\frac{bc}{a}}=\frac{2}{a}tương tự[/TEX]\RightarrowVT\geq[TEX]\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}[/TEX]
lại có[TEX]\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}[/TEX] \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq3
[TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]\geq[TEX\frac{1}{\sqrt[2]{ab}}+\frac{1}{\sqrt[2]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[2]{ca}}=\sqrt[2]{a}+\sqrt[2]{b}+\sqrt[2]{c}[/TEX]
\Rightarrowdpcm

 

[shyhaeky_1111]

[TEX]\sqrt{a^4+a^2.b^2+b^4} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} (a^2+b^2) [/TEX]

[TEX] a.\sqrt{2a^2+bc} \le \frac{1}{2\sqrt{3}}. 2.\sqrt{3}a.\sqrt{2a^2+bc} \le (3a^2 + 2a^2 + bc) [/TEX]

Tương tự cho các số còn lại và để ý [TEX]a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca[/TEX]

Bài này thì sao :-/!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[williamdunbar]

2. Với a,b,c là các số thực dương thoả abc=2. CM:[TEX]a^3+b^3+c^3 \geq a.\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}[/TEX]

[tex]2(a^3+b^3+c^3)+12\geq a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+12\geq 4a\sqrt{b+c}+4b\sqrt{a+c}+4c\sqrt{a+b} [/tex]
\Leftrightarrow[tex]a^3+b^3+c^3+6\geq2a\sqrt{b+c}+2b\sqrt{a+c}+2c\sqrt{a+b}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}+6 [/tex]
\Rightarrowđpcm

 

[shyhaeky_1111]

Típ nè các mem :
1. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc \leq 1.CMR:
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq a+b+c[/TEX]
2. Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thoả mãn [TEX]a+x \geq b+y \geq c+z[/TEX] và [TEX]a+b+c= x+y+z[/TEX]. CMR [TEX]ay+bx \geq ac+xz[/TEX]
3. Cho x, y, z là các số thực dương thoả: [TEX]x^2+y^2+z^2+2xyz = 1[/TEX]. CMR:
a) [TEX]xyz\leq \frac{1}{8}[/TEX]
b) [TEX]x +y+ z \leq \frac{3}{2}[/TEX]
c) [TEX]xy +yz +zx \leq \frac{3}{4} \leq x^2+y^2+z^2[/TEX]

 

[bigbang195]

3. Cho x, y, z là các số thực dương thoả: [TEX]x^2+y^2+z^2+2xyz = 1[/TEX]. CMR:
a) [TEX]xyz\leq \frac{1}{8}[/TEX]
b) [TEX]x +y+ z \leq \frac{3}{2}[/TEX]
c) [TEX]xy +yz +zx \leq \frac{3}{4} \leq x^2+y^2+z^2[/TEX]

do do

nên ta có thể đặt

với

giả sử \gama ' thỏa mãn với

nên:

. ta có :

Do đó kết hợp với giải thiết ta có :

và:

trừ cho nhau ta được :

dó đó :

suy ra:

nhưng :

hay

do đó

là 3 góc của 1 tam giác .

ta sử dụng bổ đề sau :

sử dụng nó 2 lần ta chứng minh được :

Theo bất đẳng thức AM-GM:

hay

phần c dành cho bạn

 

[miko_tinhnghich_dangyeu]

Típ nè các mem :
1. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc \leq 1.CMR:
[TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq a+b+c[/TEX]..(1)

[TEX] (1)\Leftrightarrow a^2c+b^2a+c^2b \geq abc(a+b+c)[/TEX]
ta có : [TEX]a^2c+a^2c+b^2a \geq 3\sqrt[3]{a^5b^2c^2}\geq3a^2bc (abc\leq1)[/TEX]
tt [TEX]\Rightarrow b^2a+b^2a+c^2b \geq 3b^2ac [/TEX]
[TEX] c^2b+c^2b+ca^2 \geq 3c^2ab [/TEX]
[TEX]\Rightarrow [/TEX]đpcm
dấu = xảy ra [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] a=b=c=1

 

[williamdunbar]

1. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc \leq 1.CMR:
[tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq a+b+c[/tex]

Ta có bđt [tex]\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}[/tex]
Mà abc\leq1
=> đpcm

 

[lequydonnt]

[tex]2(a^3+b^3+c^3)+12\geq a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+12\geq 4a\sqrt{b+c}+4b\sqrt{a+c}+4c\sqrt{a+b} [/tex]
\Leftrightarrow[tex]a^3+b^3+c^3+6\geq2a\sqrt{b+c}+2b\sqrt{a+c}+2c\sqrt{a+b}\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}+6 [/tex]
\Rightarrowđpcm

thang dang no cung lam cach giong may bai nay nhung ma no lam dai hon

 

[shyhaeky_1111]

Mại zô anh em!!

1. Cho 2 số a,b ko âm. CMR [TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2ab}[/TEX]

 

[bigbang195]

1. Cho 2 số a,b ko âm. CMR [TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2ab}[/TEX]

thử BĐT đẳng thức sai rồi cậu .

 

[deltano.1]

Cho a,b,c là các số thực dương:
CM:[tex]\sum{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}\geq 2[/tex]

¨º"°¨¨°(¯`·._.my love·._.·´¯)°¨º"°¨¨°
I LAY MY LOVE ON NGUYEN THI MINH ...!!!???​

 

[vodichhocmai]

Cho a,b,c là các số thực dương:
CM:[tex]\sum{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}\geq 2[/tex]

[TEX]\sum_{cyclic}{\frac{a^2+bc}{b^2+bc+c^2}\ge \sum_{cyclic}\frac{{a(b + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}} \ge 2 + \frac{{3{{\[\(a - b\)\(b - c\)\(c - a\)\]}^2}}}{{({a^2} + ab + {b^2})({b^2} + bc + {c^2})(c^2+ca+a^2)}}\ge VP[/TEX]


[TEX]\sum\frac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}-2=\sum\frac{ab(a-b)^2}{(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)},[/TEX]

[TEX]\Rightarrow\sum ab(a^2+ab+b^2)(a-b)^2\ge 3[(a-b)(b-c)(c-a)]^2.[/TEX]

Cần [TEX]CM[/TEX]

[TEX]\Rightarrow a^2b^2(a-b)^2+b^2c^2(b-c)^2+c^2a^2(c-a)^2\ge [(a-b)(b-c)(c-a)]^2,[/TEX]

[TEX]\Righ 2abc[a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)]\ge 0[/TEX]

[TEX]Done!![/TEX]